Teoria das distribuições

O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida na metade do século XX por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields.

Motivação

A teoria das distribuições foi desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac é adequada para descrever conceitos da física teórica, como uma massa puntual ou uma carga elétrica. De uma função densidade tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a integral volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um funcional, é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac.

Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das equações diferenciais parciais, bem como em análise de Fourier.

Definições

Definição de distribuições

Uma distribuição é uma transformação linear contínua de uma função teste nos números complexos. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o espaço dual topológico do espaço das funções teste.

Notação

De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número

$T:\phi \to T(\phi ):=(T,\phi )$

Na última equação $(T,\phi )$ é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste $\phi$. Diz-se: a distribuição T é aplicada sobre $\phi$.

Exemplos

• Seja $\Omega \subseteq \mathbb {R}$ e $f\in C(\Omega )$, tal que para toda função teste $\phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ a expressão $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\phi (x)dx$ seja uma distribuição no espaço ${\mathcal {D}}'(\Omega )$.
• Seja $x_{0}\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ e $\alpha \in \mathbb {N} ^{n}$. Então para todo $\phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ a derivada parcial $(\partial _{x}^{\alpha }\phi )(x_{0})$ é também um distribuição em ${\mathcal {D}}'(\Omega )$.
• o valor principal de Cauchy da função ${\frac {1}{x}}$ pode ser interpretado como a distribuição $T$

$\forall \phi \in C_{c}^{\infty }:\ T(\phi ):=PV-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x}}dx$.

Funções teste

Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles.

Seja

$C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega ,\mathbb {C} )\,|\,\operatorname {supp} \,\phi \mathrm {~um~subconjunto~compacto~de~} \Omega \}$

o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.

Funções teste para distribuições gerais

Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por ${\mathcal {D}}(\Omega )$, é necessário um critério de convergência. Uma seqüência $(\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }$ com $\phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ converge ao valor $\phi$, quando existe um conjunto compacto $K\subset \Omega$ com $\operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K$ para todo $j$ e

$\lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}(x)-\phi (x)\right)\right|=0$

para todo multi-índice $\alpha \in \mathbb {N} ^{n}$. O espaço $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ juntamente com este critério de convergência fornece um espaço convexo local, denotado por ${\mathcal {D}}(\Omega )$.

Funções teste para distribuições com suporte compacto

Um outro espaço de funções teste é o espaço das funções suaves $C^{\infty }(\Omega )$. Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a topologia induzida é denotado por ${\mathcal {E}}(\Omega )$. A família de semi-normas é expressa por

$\phi \mapsto \sum _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\phi (x)\right|.$

Esta norma induz uma topologia convexa local

Bibliografia

• Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). Bände I - III (1958 mit G.E. Schilow), IV (1960 mit N.J. Wilenkin), V (1962 mit M.I. Graev und N.J. Wilenkin), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
• Michael James Lighthill: An introduction to Fourier analysis and generalised functions, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
• Joseph Wloka: Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen, Lecture Notes in Mathematics 82, Springer-Verlag 1968, ISBN 3-540-04250-4.