Carl Johan Malmstén (Uddetorp, Suécia, 9 de abril de 1814 – Upsália, 11 de fevereiro de 1886) foi um matemático sueco.
Em 1840 foi Privatdozent e em 1842 professor ordinário de matemática da Universidade de Upsália, onde foi de 1855 a 1856 reitor.
Foi membro de diversas academias e sociedades científicas, dentre outras desde 1875 correspondente da Academia de Ciências de Göttingen e em 15 de dezembro de 1880 membro honorário da Academia de Ciências da Prússia.
Sua filha casou com Ernst Christian Julius Schering.
É conhecido por seu trabalho sobre análise complexa.[1] Contribuiu intensamente em outras áreas da matemática. Foi descoberto por Iaroslav Blagouchine[2] que Malmsten foi o primeiro a calcular diversas integrais logarítmicas importantes, intimamente relacionadas a funções gama e zeta, dentre as quais estão as integrais de Vardi e séries de Kummer para os logarítmos da função gamma. Em particular, em 1842 calculou as seguintes integrais
Os detalhes e uma interessante análise histórica são apresentados no artigo de Blagouchine.[2]
Muitas destas integrais foram redescobertas mais tarde por diversos pesquisadores, dentre eles Vardi,[3] Adamchik,[4] Medina[5] e Moll.[6] Alguns autores atribuíram a primeira destas integrais a Vardi, que as recalculou em 1988. Malmsten calculou estas integrais usando diversas representações em série. Foi mostrado que estas integrais podem ser calculadas pelo método das integrais de contorno,[2] aplicando a função zeta de Hurwitz,[4] empregando polilogarítmos[5] e usando funções L.[3] Formas mais elaboradas das integrais de Malmsten surgem nos trabalhos de Adamchik[4] e Blagouchine[2] (mais de 70 integrais). Em seguida são apresentadas algumas destas integrais
sendo m e n inteiros positivos tal que m<n, G - é a constante de Catalan, ζ - é a função zeta de Riemann, Ψ - é a função digama, Ψ1 - é a função trigamma; ver por exemplo eq. (43), (47) e (48) em[4] para as primeiras três integrais, e exercícios no. 36-a, 36-b, 11-b e 13-b em[2] para as últimas quatro integrais respectivamente (sendo a terceira integral calculada em ambos os trabalhos). É de se salientar que algumas das integrais de Malmsten resultam em funções gama e poligama de um argumento complexo, não encontradas com frequência em análise. Por exemplo, foi mostrado por Iaroslav Blagouchine,[2]
ou,
ver exercícios 7-а e 37, respectivamente. As integrais de Malmsten são também relacionadas com as constantes de Stieltjes.[2][7][8]
Em 1842 Malmsten calculou algumas séries logarítmicas, dentre as quais as duas séries
e
A última série foi redescoberta de forma ligeiramente diferente por Ernst Kummer, que obteve uma expressão similar
em 1847[2] (estritamente falando, o resultado de Kummer é obtido do resultado de Malmsten fazendo a=π(2x-1)). Além disso, esta série é conhecida em análise como série de Kummer para o logaritmo da função gama, embora Malmsten a tenha deduzido 5 anos antes de Kummer.
Malsmten também contribuiu para a teoria das séries e integrais das funções zeta. Em 1842 provou as relações funcionais para a função L
bem como para a função M
onde em ambas as fórmulas 0<s<1. A primeira destas fórmulas foi proposta por Leonhard Euler em 1749,[9] mas foi Malmsten que a demonstrou (Euler apenas sugeriu esta fórmula e a verificou para diversos inteiros e semi-inteiros de s). Esta mesma fórmula para L(s) foi redescoberta por Oscar Schlömilch em 1849 (prova apresentada em 1858).[2][10][11][12] Quatro anos depois, Malmsten apresentou diversas outras fórmulas refletidas e casos particulares da função zeta de Hurwitz.