Proporção áurea
Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de se(c)ção áurea (do latim sectio aurea)[1], razão áurea,[2] razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão[3], divisão de extrema razão ou áurea excelência.[4][5] O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias .[6][7][8]
Desde a Antiguidade, a proporção áurea é usada na arte.[9] É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi ), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado de forma aproximada no homem (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), nas colmeias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem de crescimento na natureza.
Justamente por ser encontrado em estudos de crescimento o número de ouro ganhou um status de "ideal", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. O fato de ser apoiado pela matemática é que o torna fascinante.
Propriedades matemáticas
Definição algébrica
Duas quantidades estão em razão áurea se sua razão é igual à razão da sua soma pela maior das quantidades. Algebricamente, dados e , , então:
Onde representa a razão áurea. Seu valor é constante e pode ser encontrado a partir da definição anterior.
Usando a parte direita da equação, vemos que o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:
Cancelando b em ambos os lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por resulta:
Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por encontramos:
- que é uma equação quadrática da forma em que
Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
- que é o número
Sequência de Fibonacci
- O número áureo está presente na fórmula do termo geral da Série de Fibonacci:
O número áureo pode ser aproximado pela divisão do n-ésimo termo da Série de Fibonacci pelo termo anterior, sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for n. Por exemplo:
Série de frações
O número áureo também pode ser encontrado através de frações contínuas, normalmente representadas como [a,b,c,d,e,...], o que resulta em:[10]
A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.
Um número irracional sempre pode ser aproximado por números racionais, e os convergentes da representação em fração contínua são as melhores aproximações. A aproximação é tão melhor quando se corta a expansão em um coeficiente grande; por exemplo, uma boa aproximação de π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] é obtida ao se tomar π ~= [3; 7, 15, 1] = 3.141592654... Como todos os coeficientes da fração contínua de φ são um, todas suas aproximações por racionais são ruins - de fato, φ é o pior número para ser aproximado por racionais.[10]
Série de raízes
Proporção áurea na natureza
Figuras geométricas
Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em proporção áurea com o raio da circunferência.
Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.
Chamando os vértices de um pentagrama de A,B,C,D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.
Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Esse era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.
Vegetais
Como os vegetais não têm formas exatas, a ponto de serem construídos com régua e compasso, a divina proporção, bem como a série Fibonacci, só podem ser encontradas por aproximação.[11][12]
Animais
Nos animais, as medidas também são aproximadas.[11][12]
- População de abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colmeia.
- Concha do caramujo Nautilus – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras para poder regular a profundidade de sua flutuação. Obs.: até hoje não se encontrou nenhum caramujo Nautilus que comprove essa afirmação amplamente difundida.
- Outros – phi estão também nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.
Corpo humano
- A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
- A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
- A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
- A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
- O tamanho dos dedos é a medida da dobra central até a ponta.
- A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
Essas proporções anatômicas ideais foram representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.
Aplicações
O homem, em muitas ocasiões, tem buscado o ideal da perfeição nas linguagens artísticas.
Arte
A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza.
Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição.
A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada.[15] Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.[14]
Retângulo dourado
Em geometria, o retângulo de ouro surge do processo de divisão em média e extrema razão, de Euclides. Ele é assim chamado porque ao dividir-se a base desse retângulo pela sua altura, obtêm-se o número de ouro 1,618.[16]
Música
O número de ouro está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.[17] O compositor húngaro Béla Bartók também se utilizou desta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra,[18] assim como o fez o francês Claude Debussy em diversas de suas sonatas.[19]
No jazz há músicos que usam os números da série Fibonacci na divisão rítmica e dos compassos.[20]
Literatura
No livro "O Número de Ouro", Matila Ghyka demonstrou a existência da proporção áurea em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valéry, Pierre Louys, entre outros. Na pesquisa Ghyka relacionou as estrofes de acordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmo prosódico.[21]
Cinema
O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.
Linha do tempo
Linha do tempo baseada nos estudos de Priya Hemenway:[22]
- Phidias (490–430 a.C.) projetou o Partenon que contém proporções áureas.
- Platão (427–347 a.C.), no seu Timeu, descreveu os sólidos platônicos: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro. Podem ser encontradas proporções áureas em partes dos sólidos.[23]
- Euclides (325–265 a.C.), em sua obra Os Elementos, registrou a construção geométrica divisão em média e extrema razão (em grego: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).[24]
- Fibonacci (1170–1250) mencionou a sequência numêrica conhecida como Sequência de Fibonacci; que são aproximações do número de ouro.
- Luca Pacioli (1445–1517) estudou a "divina proporção" em sua obra de mesmo nome. O termo foi sugerido por Leonardo Da Vinci.
- Michael Maestlin (1550–1631) publicou a fração decimal do número de ouro.
- Johannes Kepler (1571–1630) provou que a proporção áurea é o limite da relação entre os números consecutivos da série Fibonacci[25] e descreveu a proporção áurea como uma "joia preciosa": "A geometria tem dois grandes tesouros: um é o Teorema de Pitágoras, e o outro é a divisão áurea".
- Charles Bonnet (1720–1793) apontou a presença da série Fibonacci nas espirais logarítmicas presentes nas plantas, tanto no sentido horário, como no anti-horário.
- Martin Ohm (1792–1872) acredita-se ter sido o primeiro a usar o termo "segmento áureo" para descrever essa relação, em 1835.[26]
- Édouard Lucas (1842–1891) deu à sequência numérica o nome de Série de Fibonacci.
- Mark Barr (século XX) sugeriu a letra grega phi ( 'φ' ), que era a letra inicial do nome do escultor grego Fídias, para simbolizar a proporção áurea.[27]
Referências
- ↑ Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "E o mesmo se aplica em arquitetura, aos retângulos que representam estas e outras proporções (e.g. a 'seção áurea')."
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