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O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Índice

DefiniçãoEditar

Seja   um espaço topológico e   um ponto. O grupo fundamental de   baseado em  , representado por   é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em   onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se   e   são lacetes centrados em  , e   indica a classe de homotopia, então  .

Toda curva   de   a   define um homomorfismo de grupos entre   e   por  . Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando   é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja,   é isomorfo a  , para quaisquer  .

Aplicações contínuas e homomorfismosEditar

Se   é uma aplicação contínua tal que  , então ela induz um homomorfismo   entre   e   dado por  . Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que  .

FunctorialidadeEditar

Seja   a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas  , onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos   são aplicações contínuas   tal que  . Então   pode ser visto como um functor entre   e  . Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.


Referências

  • Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology. [S.l.]: Mir. 454 páginas. ISBN 5855012034. Verifique |isbn= (ajuda) 
  • Joseph J., Rotman (1988). An Introduction to Algebraic Topology. [S.l.]: Springer. ISBN 0387966781. Verifique |isbn= (ajuda) 


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