Identidade de Euler
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Em matemática, a identidade de Euler é representada pela equação
- .
Segundo Richard Feynman seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).
A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.
Demonstração da Identidade de Euler
editarA série de Taylor, de forma geral, é enunciada como,
.
Quando aplicamos a série para a função exponencial, nós encontramos que,
para a série centrada no ponto ,
.
Esta função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que e se fizermos onde é um número real, obteremos:
,
as duas séries são as famosas séries das funções e , respectivamente. Portanto, vemos que a função exponencial com argumento complexo será
.
aplicando para
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