Identidade de Euler

Em matemática, a identidade de Euler é representada pela equação

A função exponencial natural ez pode ser definida como o limite de (1 + zN)N, quando N tende ao infinito, e assim eiπ é o limite de (1 + iπN)N. Nesta animação N assume vários valores crescentes de 1 a 100. O cálculo de (1 + iπN)N é mostrado como efeito combinado de N multiplicações repetidas no plano complexo, com o ponto final sendo o valor de (1 + iπN)N. Pode ser visto que quando N cresce (1 + iπN)N aproxima o limite −1.
.

Segundo Richard Feynman seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.

Demonstração da Identidade de EulerEditar

A série de Taylor, de forma geral, é enunciada como,

 .

Quando aplicamos a série para a função exponencial, nós encontramos que,

 

para a série centrada no ponto  ,

 .

Esta função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que   e se fizermos   onde   é um número real, obteremos: 

 

 ,

as duas séries são as famosas séries das funções   e  , respectivamente. Portanto, vemos que a função exponencial com argumento complexo será

 .

aplicando para  

 

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Referências