Lista de fórmulas envolvendo π
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Esta é uma lista de fórmulas significantes envolvendo a constantes matemática .
Geometria euclidiana editar
sendo C o perímetro da circunferência e d seu diâmetro.
sendo A a área da circunferência e r seu raio.
sendo V o volume da esfera e r seu raio.
sendo SA a área da superfície da esfera e r seu raio.
Física editar
- Período de um pêndulo com pequena amplitude:
- Fórmula da flambagem:
Fórmulas resultando editar
Integrais editar
- (ver Integral Gaussiana).
- (quando a trajetória de integração percorre uma vez no sentido anti-horário em torno de 0. Ver também fórmula integral de Cauchy)
- (ver também prova de que 22/7 é maior que π).
Séries infinitas eficientes editar
- (ver também duplo fatorial)
- (ver algoritmo de Chudnovsky)
- (ver Séries de Ramanujan–Sato)
As seguintes são eficientes para calcular dígitos binários arbitrários de pi:
- (ver fórmula BBP)
Outras séries infinitas editar
- (ver também problema de Basileia e função zeta de Riemann)
- , sendo B2n um números de Bernoulli.
- (Euler, 1748)
- Após os primeiros dois termos, os sinais são determinados como segue: Se o denominador é primo da forma 4m - 1, o sinal é positivo; se o denominador é um primo da forma 4m + 1, o sinal é negativo; para números compostos, o sinal é igual ao produto dos seus sinais em seus fatores.[3]
- Também:
- onde é o n-ésimo número de Fibonacci.
Fórmulas do tipo Machin editar
Ver também fórmula de Machin.
(Unidades dos ângulos em radianos)
- (fórmula original de John Machin)
sendo o n-ésimo número de Fibonacci.
Séries infinitas editar
Algumas séries infinitas envolvendo pi são:[4]
onde
Produtos infinitos editar
- (Euler)
- onde os numeradores são primos ímpares; cada denominador é um múltiplo de quatro próximo ao numerador.
- (see also Wallis product)
Frações contínuas editar
Para mais informações sobre esta terceira identidade ver fração contínua de Euler.
(Ver também fração contínua e fração contínua generalizada.)
Miscelânea editar
- (ver função totiente de Euler)
- (ver função totiente de Euler)
- (ver também função gama)
- (onde agm é a média aritmética-geométrica)
- (where mod is the modulo function which gives the rest of a division this formula is getting better for higher n)
- (soma de Riemann para avaliar a área da circunferência unitária)
Referências
- ↑ Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series
- ↑ Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld
- ↑ Carl Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21., p. 488-489
- ↑ Simon Plouffe / David Bailey. «The world of Pi». Pi314.net. Consultado em 29 de janeiro de 2011
«Collection of series for π». Numbers.computation.free.fr. Consultado em 29 de janeiro de 2011
Ver também editar
Leitura adicional editar
- Peter Borwein, The Amazing Number Pi
- Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Number Theory 1: Fermat's Dream. American Mathematical Society, Providence 1993, ISBN 0-8218-0863-X.