Logaritmo natural

função logarítmica com base e
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O logaritmo natural, também conhecido como logaritmo neperiano, é o logaritmo de base e, um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. É definido para todos os números reais estritamente positivos e admite uma extensão como uma função complexa analítica em .

O gráfico do logaritmo natural.

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

O logaritmo neperiano leva o nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), que utilizou a base 1/e e não a base e. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

Origem

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Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que:  

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo   multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:  

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno  , temos  

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k ≈ 0,7 e para a = 10, k ≈ 2,3.

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em

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Uma maneira de definir o logaritmo natural:   é através da integral:  

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

  •  
  •  
  •   é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:   A primeira parcela desta soma é   e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição:   portanto:   segue que  

Sabemos então que   para alguma base   a ser determinada.

Da simples definição temos:  

Seja   a função inversa de   então, usando a fórmula   obtemos:  

Portanto   onde   é o número de Euler.

Convenções de notação

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Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log10(x) e, em Computação, log(x) para log10(x) e lg(x) para log2(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log10(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para loge(x).

Função logarítmica complexa

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Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa   pela equação:  

onde   é o módulo e   é o argumento medido em radianos do número complexo ;   e     define o logaritmo natural real positivo de  

Assim, a função     é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de     o número definido por:  

Derivada da função logarítmica natural

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Dada a função:

 

a sua derivada é:

 

Após uma mudança de variável

 
 

que resulta em:[1]

 

Integral da função logarítmica

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Dada a função:  

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja:  

Referências

  1. «Derivadas de funções logarítmicas». Só Matemática. Consultado em 1 de junho de 2020