Logaritmo natural

O logaritmo natural, também conhecido como logaritmo neperiano, é o logaritmo de base e, um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. É definido para todos os números reais estritamente positivos $x$ e admite uma extensão como uma função complexa analítica em $\mathbf {C} \backslash \{0\}$.

O gráfico do logaritmo natural.

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

O logaritmo neperiano leva o nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), que utilizou a base 1/e e não a base e. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

Origem

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que:

$$a^{(x+y)}=a^{x}\ a^{y}$$

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo $u=a^{x},$ multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

$$u=a^{x},v=a^{y},u\ v=a^{(x+y)}$$

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno $(x<1)$, temos

$$a^{x}\approx 1+kx$$

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k ≈ 0,7 e para a = 10, k ≈ 2,3.

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em $\mathbf {R}$

Uma maneira de definir o logaritmo natural:

$$\ln(x):\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R}$$

é através da integral:

$$\ln(x):=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

• $\ln(1)=0$
• $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\forall a,b>0$
• $\ln(x)$ é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:

$$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {dt}{t}}=\int _{1}^{a}{\frac {dt}{t}}+\int _{a}^{ab}{\frac {dt}{t}}$$

A primeira parcela desta soma é $\ln(a)$ e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição: $u=t/a,$ portanto:

$$\ln(ab)=\ln(a)+\int _{1}^{b}{\frac {du}{u}}$$

segue que $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Sabemos então que $\ln(x)=\log _{b}(x)$ para alguma base $b$ a ser determinada.

Da simples definição temos:

$${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$$

Seja $b^{x}$ a função inversa de $\ln(x),$ então, usando a fórmula ${\frac {d}{dx}}f^{-1}(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}},$ obtemos:

$${\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}$$

Portanto $b=e,$ onde $e$ é o número de Euler.

Convenções de notação

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar log_e(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log₁₀(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log₁₀(x) e, em Computação, log(x) para log₁₀(x) e lg(x) para log₂(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log₁₀(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para log_e(x).

Função logarítmica complexa

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa $z$ pela equação:

$$\ln z=\ln r+i(\theta \pm 2k\pi )$$

onde $r$ é o módulo e $\theta$ é o argumento medido em radianos do número complexo$z$; $k=(1,2,3,\dots )$ e $\ln$ $r$ define o logaritmo natural real positivo de $r.$

Assim, a função $ln$ $z$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de $ln$ $z$ o número definido por:

$$\ln z=\ln r+i\theta$$

Derivada da função logarítmica natural

Ver também: Derivada logarítmica

Dada a função:

$f(x)=\ln(x)$

a sua derivada é:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {ln(x+h)-ln(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {ln((x+h)/x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}.ln(1+{\frac {h}{x}})=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {h}{x}})^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {1}{x/h}})^{\frac {1}{h}}$

Após uma mudança de variável

$u={\frac {x}{h}}$

$\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{\frac {u}{x}}={\frac {1}{x}}\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{u}={\frac {1}{x}}.ln(e)$

que resulta em:

$f'(x)={\frac {1}{x}}$

Integral da função logarítmica

Dada a função:

$$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C$$

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja:

$$\int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x(\ln(x))'dx.$$