Operador fechado

Em matemática, especialmente na análise funcional, os operadores lineares fechados formam uma importante classe de operadores lineares em espaços de Banach. Todo operador linear limitado é fechado e muitos operadores lineares não-limitados de importância na matemática aplicada são fechados. A classe dos operadores fechados são suficientemente bem comportados a ponto de se poder desenvolver um teorema espectral para eles.

Seja $X$ um espaço de Banach. Um operador linear A

$A\colon {\mathcal {D}}(A)\subset X\to X$

é dito fechado se para cada seqüência $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ em ${\mathcal {D}}(A)$ que converge para um ponto $x\in X\,$ tal que $Ax_{n}\to y\in X$ tem-se que:

$x\in {\mathcal {D}}(A)$ e

$Ax=y.$

Equivalentemente, $A\,$ é fechado se e somente se seu gráfico é fechado.

Exemplo

Considere $X=C^{0}[a,b]\,$ o espaço das funções contínuas no intervalo $[a,b]\,$ e $T\,$ o operador derivada:

$Tf:={\frac {d}{dx}}f\,$, definido no domínio

$D(T)=C^{1}[a,b]\,$

Então se $f_{n}(x)\to f\,$ e $Tf_{n}(x)\to g\,$ ambos na norma do supremo ou, equivalentemente, uniformemente, então, não é difícil ver que:

$Tf_{n}\to Tf\,$

Teorema

• O teorema do gráfico fechado afirma que um operador fechado definido em todo espaço é contínuo. Portanto, um operador fechado descontínuo, como o exemplo acima, não pode ser definido em todo o espaço.

Bibliografia

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill