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Pêndulo de Foucault

Disambig grey.svg Nota: Se procura o livro de Umberto Eco, veja O Pêndulo de Foucault (livro).

Um pêndulo de Foucault (pronúncia em francês: ​[fuˈko]), assim chamado em referência ao físico francês Jean Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação da Terra em relação a seu próprio eixo. A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo de 30 kg foi fixado ao teto do Panteão de Paris por um fio de 67 metros de comprimento. Durante o movimento, a areia ia se escorrendo da esfera, com a intenção de marcar no chão a trajetória do pêndulo; o rastro deixado pela areia não se sobrepunha um ao outro, mas sim existia um espaçamento entre um e outro a cada período do pêndulo completado.[1] A originalidade do pêndulo reside no fato de ter liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação do plano pendular é devida à rotação da Terra. A velocidade e a direção de rotação do plano pendular permitem igualmente determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.[2][3]

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Pêndulo de Foucault em Filadélfia (Franklin Institute).

PrincípioEditar

Pêndulo de Foucault (Paris, Panthéon).
 
Animação do Pêndulo de Foucault exibindo o sentido de rotação no hemisfério sul.

Se considerar um ponto centrado ao nível do ponto de fixação do pêndulo (o teto do Panthéon, por exemplo), o pêndulo oscila sempre no mesmo plano (em relação a esse ponto); no entanto, a Terra gira em torno dele (o que é previsto pelas leis de Newton, e intuitivo se nos imaginarmos em um pólo). Em um referencial mais habitual, o da Terra, é então o pêndulo que vai sofrer uma rotação.

O pêndulo deve ser idealmente colocado em um dos pólos da Terra. Seu período de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude do local. O tempo para uma rotação completa do plano de oscilação, considerando uma latitude λ, é dado por T(λ) = 24/sen. λ, onde o tempo aqui é dado em horas. Os únicos lugares em que o tempo de rotação completa do plano de oscilação do pêndulo de Foucault é igual a 24 horas são os polos norte e sul, onde temos λ = 90 graus. O movimento do pêndulo de Foucault ocorre no sentido horário no hemisfério norte e no sentido anti-horário no hemisfério sul.[4]

Por exemplo:

  • 1 dia sideral nos polos;
  • 1,4 dias a   de latitude;
  • 2 dias a   de latitude;
  • infinito (ou seja o plano pendular permanece constante) com   de latitude, no equador.

Um pouco de matemáticaEditar

Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequenas para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloca horizontalmente. Notemos Oxy este plano horizontal, com O posição da massa em repouso, Ox eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo), e Oy dirigido para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical, dirigido para cima.lp

Caso do pêndulo simplesEditar

Sem se levar em conta a rotação da Terra, as equações do movimento são as do pêndulo simples, ou seja:

 

onde ω é a oscilação própria do pêndulo simples, ou seja:

 

onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo. A título de exemplo, se no instante t = 0 o pêndulo passa em O com uma velocidade V0 segundo o eixo Ox, então a solução deste sistema é:

 

Caso do pêndulo de FoucaultEditar

Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a aceleração de Coriolis:

 

onde   é a velocidade do pêndulo,   é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre e Ω a velocidade de rotação angular da Terra (ou seja, uma volta em um dia sideral). Essa velocidade de rotação Ω é muito menor que a oscilação própria ω do pêndulo.[5]

Se nos encontramos à latitude θ, então o vetor   tem como componentes no referencial Oxyz:

 

  tem como componentes:

 ,

de modo que a aceleração de Coriolis terá os componentes:

 .

As equações de movimento no plano Oxy tornam-se:

 

Se se supõe ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V0 no eixo Ox, então pode-se verificar que as soluções x e y do sistema diferencial são tais que:

 

com

 

Pode-se escrever que:

 

Interpretação e comparaçãoEditar

A quantidade   exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com uma pulsação própria ω0 ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas como Ω é muito pequeno em comparação com ω, a diferença entre ω e ω0 é muito pequena.

Mais notável, a oscilação se dá segundo a direção:

 

que roda lentamente segundo a pulsação:

 

Ver tambémEditar

 
O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Pêndulo de Foucault

Referências

  1. SANTOS, Floriano Gomes dos (11 de fevereiro de 2013). «Pêndulo de Foucault». Instituto de Astronomia e Pesquisa Espaciais. Consultado em 5 de outubro de 2014 
  2. Somerville, W.B (1972). «The Description of Foucault's Pendulum» (PDF). Q. J. R. Astron. Soc. (em inglês). 13 (40) 
  3. Hart J.B.; Miller R. E.; R.L.Mills (1987). «A simple geometric model for visualizing the motion of a Foucault pendulum». American Journal of Physics (em inglês). 55: 67-70 
  4. SANTOS, Floriano Gomes Dos (11 de fevereiro de 2013). «Pêndulo de Foucault». Instituto de Astronomia e Pesquisa Espaciais. Consultado em 5 de outubro de 2014 
  5. SANTOS, Floriano Gomes Dos (11 de Fevereiro de 2013). «Pêndulo de Foucauld». Instituto de Astronomia e Pesquisa Espacial. Consultado em 6 de Outubro de 2014 

Ligações externasEditar