O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steihaus em 1927. [ 1] Em 2011, o matemático A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo[ 2] .
Demonstração Clássica
editar
Escreva:
B
=
⋃
n
=
1
∞
B
n
,
B
n
:=
{
x
∈
X
:
sup
α
∈
A
‖
T
α
(
x
)
‖
⩽
n
}
{\displaystyle B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}}
Como
B
n
:=
⋂
α
∈
A
{
x
∈
X
:
‖
T
α
(
x
)
‖
⩽
n
}
{\displaystyle B_{n}:=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}}
e cada um dos operadores
T
α
{\displaystyle T_{\alpha }\,}
é contínuo,
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
é fechado . Do fato de que
X
{\displaystyle X\,}
é de segunda categoria em
X
{\displaystyle X\,}
e pelo teorema da categoria de Baire . Pelo menos um dos
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
possui interior não vazio.
Da linearidade dos operadores,
B
n
=
n
B
1
{\displaystyle B_{n}=nB_{1}\,}
e portanto, existe um
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
e um
x
0
∈
B
1
{\displaystyle x_{0}\in B_{1}\,}
tais que:
B
(
x
0
,
δ
)
⊆
B
1
{\displaystyle B(x_{0},\delta )\subseteq B_{1}\,}
,
B
(
x
0
,
δ
)
{\displaystyle B(x_{0},\delta )\,}
é bola de centro
x
0
{\displaystyle x_{0}\,}
e raio
δ
{\displaystyle \delta \,}
.
Como
B
1
{\displaystyle B_{1}\,}
é convexo , pode-se considerar
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0\,}
.
Escolha
r
>
0
{\displaystyle r>0\,}
tal que
‖
x
r
‖
=
δ
2
{\displaystyle \|xr\|={\frac {\delta }{2}}\,}
e estime:
‖
T
α
(
x
)
‖
=
1
r
‖
T
α
(
r
x
)
‖
⩽
1
r
=
2
δ
‖
x
‖
{\displaystyle \|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leqslant {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|}
E o resultado segue.
Demonstração sem utilizar o Teorema de Baire
editar
Primeiro, vejamos um resultado técnico:
Lema. Para qualquer operador linear
T
:
X
⟶
Y
{\displaystyle T:X\longrightarrow Y}
entre espaços normados , qualquer
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
e qualquer
r
>
0
{\displaystyle r>0}
, têm-se
sup
x
′
∈
B
(
x
,
r
)
‖
T
x
′
‖
⩾
‖
T
‖
∞
r
{\displaystyle \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\geqslant \|T\|_{\infty }r}
onde
B
(
x
,
r
)
=
{
y
∈
X
:
‖
x
−
y
‖
<
r
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}(x,r)=\{y\in X:\|x-y\|<r\}}
denota a bola aberta de centro
x
{\displaystyle x}
e raio
r
{\displaystyle r}
.
Demonstração. De fato, para qualquer
y
∈
X
{\displaystyle y\in X}
, vale a seguinte desigualdade:
‖
T
(
x
+
y
)
‖
+
‖
T
(
x
−
y
)
‖
2
⩾
‖
T
y
‖
{\displaystyle {\frac {\|T(x+y)\|+\|T(x-y)\|}{2}}\geqslant \|Ty\|}
dado que
2
T
y
=
T
(
x
+
y
)
−
T
(
x
−
y
)
{\displaystyle 2Ty=T(x+y)-T(x-y)}
, aplicando a desigualdade triangular segue.
Porém,
max
(
a
,
b
)
⩾
(
a
+
b
)
/
2
{\displaystyle \max(a,b)\geqslant (a+b)/2}
para quaisquer
a
,
b
⩾
0
{\displaystyle a,b\geqslant 0}
. Ou seja:
max
(
‖
T
(
x
+
y
)
‖
,
‖
T
(
x
−
y
)
‖
)
⩾
‖
T
y
‖
{\displaystyle \max {\Big (}\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|{\Big )}\geqslant \|Ty\|}
Tomando a norma do supremo em
y
∈
B
(
0
,
r
)
{\displaystyle y\in {\mathcal {B}}(0,r)}
,
‖
T
‖
∞
r
=
sup
z
∈
B
[
0
,
1
]
‖
T
z
‖
r
=
sup
y
∈
B
(
0
,
r
)
‖
T
y
‖
⩽
sup
y
∈
B
(
0
,
1
)
max
(
‖
T
(
x
+
y
)
‖
,
‖
T
(
x
−
y
)
‖
)
⩽
sup
x
′
∈
B
(
x
,
r
)
‖
T
x
′
‖
{\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|_{\infty }r&=\sup _{z\in {\mathcal {B}}[0,1]}\|Tz\|r\\&=\sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,r)}\|Ty\|\\&\leqslant \sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,1)}\max(\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|)\\&\leqslant \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\end{aligned}}}
Terminando a demonstração do lema
◻
{\displaystyle \Box }
.
Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. Suponha por absurdo que
sup
α
∈
A
‖
T
α
‖
∞
=
∞
{\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty }
.
Então existe uma sequência
(
T
n
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(T_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
tal que
‖
T
n
‖
∞
⩾
4
n
{\displaystyle \left\|T_{n}\right\|_{\infty }\geqslant 4^{n}}
para qualquer
n
{\displaystyle n}
.
Pelo lema técnico garantido acima, existe
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
tal que, para todo
n
{\displaystyle n}
,
‖
x
n
−
x
n
−
1
‖
⩽
1
3
n
e
‖
T
n
x
n
‖
⩾
2
3
n
+
1
‖
T
n
‖
∞
{\displaystyle \left\|x_{n}-x_{n-1}\right\|\leqslant {\frac {1}{3^{n}}}\quad {\text{ e }}\quad \left\|T_{n}x_{n}\right\|\geqslant {\frac {2}{3^{n+1}}}\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}
Tal sequência é de Cauchy e por
X
{\displaystyle X}
ser Banach, existe um
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
de modo que se
n
⩾
n
0
{\displaystyle n\geqslant n_{0}}
, então
‖
x
−
x
n
‖
⩽
3
n
/
2
{\displaystyle \left\|x-x_{n}\right\|\leqslant 3^{n}/2}
.
Portanto,
‖
T
n
x
‖
⩾
3
−
n
2
‖
T
n
‖
∞
⩾
1
6
4
n
3
n
{\displaystyle \left\|T_{n}x\right\|\geqslant {\frac {3^{-n}}{2}}\left\|T_{n}\right\|_{\infty }\geqslant {\frac {1}{6}}{\frac {4^{n}}{3^{n}}}}
para qualquer
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
e qualquer
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
.
O absurdo está em contrariar a hipótese de que
sup
α
∈
A
‖
T
α
(
x
)
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }(x)\|_{\infty }<\infty }
. Logo, não pode ser o caso de
sup
α
∈
A
‖
T
α
‖
∞
=
∞
{\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty }
◻
{\displaystyle \Box }
Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:
Seja
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
o espaço normado dos elementos
x
=
(
x
j
)
∈
{\displaystyle x=\left(x_{j}\right)\in }
l
∞
(
N
)
{\displaystyle l^{\infty }(\mathbb {N} )}
com
x
j
≠
0
{\displaystyle x_{j}\neq 0}
somente para
j
{\displaystyle j}
num conjunto finito de índices. Defina
T
n
:
N
→
l
∞
{\displaystyle T_{n}:{\mathcal {N}}\rightarrow l^{\infty }}
por
T
n
x
=
(
n
x
j
)
j
∈
N
{\displaystyle T_{n}x=\left(nx_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }}
. Então
T
n
∈
L
(
N
,
l
∞
)
{\displaystyle T_{n}\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {N}},l^{\infty }\right)}
para todo
n
{\displaystyle n}
e para cada
x
∈
N
{\displaystyle x\in {\mathcal {N}}}
existe o limite
lim
n
→
∞
T
n
x
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }T_{n}x=0}
, mas
lim
n
→
∞
‖
T
n
‖
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|T_{n}\right\|=\infty }
.
Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:
Corolário. Sejam
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
Espaços de Banach. Se
b
:
X
×
Y
→
R
{\displaystyle b:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }
é uma aplicação bilinear separadamente contínua (ou seja,
b
(
⋅
,
y
)
{\displaystyle b(\cdot ,y)}
e
b
(
x
,
⋅
)
{\displaystyle b(x,\cdot )}
são lineares e contínuas para cada
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
e cada
x
∈
X
{\displaystyle x\in {X}}
, respectivamente), então
b
{\displaystyle b}
é contínua, ou seja, se
x
n
→
x
{\displaystyle x_{n}\rightarrow x}
e
y
n
→
y
{\displaystyle y_{n}\rightarrow y}
, então
b
(
x
n
,
y
n
)
→
b
(
x
,
y
)
{\displaystyle b\left(x_{n},y_{n}\right)\rightarrow b(x,y)}
.