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Indicação da união entre os conjuntos A e B

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Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. É representada pelo símbolo $\cup$.

Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por $\cap$ a interseção de conjuntos, tem-se

$|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|$,

que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$,

que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.

Definição

Pela teoria básica de conjuntos, define-se $A\cup B\,$ por:

$A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}\,$

Por exemplo:

1. Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,$
2. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,$. Note que os elementos do conjunto não são repetidos.

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

$\forall A\forall B\exists F(A\in F\land B\in F)$ (Axioma do par)

$\forall F\exists C\forall y\forall x(x\in y\land y\in F\rightarrow x\in C)$ (Axioma da união)

Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

$\forall A\forall B\exists C\forall x((x\in A\lor x\in B)\rightarrow x\in C)$

Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula $\Phi =(x\in A\lor x\in B)\,$ para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

$\forall A\forall B\exists D\forall x(x\in D\iff (x\in A\lor x\in B))$

O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

$\forall A\forall B\exists !(A\cup B)\forall x(x\in (A\cup B)\iff (x\in A\lor x\in B))$

Exemplo

Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}

Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}

Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A $\cap$ B = {1,9}