Espaços de Hölder

Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade. O espaço tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.

Definições

Seja $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$ um conjunto aberto e $\gamma \in (0,1]\,$ um número real. Uma função $f:U\to \mathbb {R} \,$ é dita Hölder-contínua com expoente $\gamma \,$ se existir uma constante real $C\,$ tal que:

$\left|f(x)-f(y)\right|\leq C|x-y|^{\gamma },\ \ \forall \ x,y\in U.$

Em particular, observe que, para $\gamma =1\,$, o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.

Nestas condições, podemos definir a $\gamma \,$-ésima semi-norma de Hölder como:

$[f]_{C^{0,\gamma }(U)}=\sup _{\stackrel {x,y\in U}{x\neq y}}{\dfrac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\gamma }}}.$

Além disso, perceba também que se $f\,$ for ainda uma função limitada em $U\,$, então a norma do supremo está bem definida

$\|f\|_{C^{0}(U)}=\sup _{x\in u}|f(x)|<\infty .$

Logo, a $\gamma \,$-ésima norma de Hölder é definida como

$\|f\|_{C^{0,\gamma }(U)}=\|f\|_{C^{0}(U)}+[f]_{C^{0,\gamma }(U)}.$

O espaço de Hölder $C^{k,\gamma }(U)\,$ consiste de todas as funções $f:U\to \mathbb {R} ^{n}\,$ que pertencem ao espaço $C^{k}(U)\,$ das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma

$\|f\|_{C^{k,\gamma }(U)}=\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }f\|_{C^{0}(U)}+\sum _{|k|=\alpha }[D^{\alpha }f]_{C^{0,\gamma }(U)}\,$

é finita, onde $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\,$ é um multi-índice cuja ordem é dada por $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ e sua derivada de ordem $\alpha \,$ é determinada por

$D^{\alpha }f(x)={\frac {\partial ^{|\alpha |}f(x)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$

Exemplos

A função ${\sqrt {x}}$ definida em $[0,3]$ é Hölderiano para cada um $\alpha \leq {1 \over 2}$.

Referências

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2 
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7, New York: Springer .