Função W de Lambert

Função usada para resolver equações complexas algébricamente impossíveis. Como a equação: xe^x = y

A função W de Lambert, devida ao matemático suíço Johann Heinrich Lambert, é a função transcendental que resolve a equação em y:

Ou seja, se y = W(x), então y resolve y ey = x.

A função W de Lambert pode ser vista como a função inversa de , uma função decrescente para e crescente para . O mínimo global de f é dado por . Por esta razão é uma função multivalorada, mas pode ser definida univocamente como uma função real no intervalo .

História

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Lambert primeiro considerou a Equação Transcendental de Lambert in 1758[1] e isto levou a um artigo de Leonhard Euler em 1783[2] que discutia o caso especial wew. A função inversa de wew foi primeiro descrita por Pólya e Szegö em 1925.[3] função Lambert foi "redescoberto" por dez anos em aplicações especializadas, mas sua importância não é muito apreciado até a década de 1990. Quando foi anunciado que a função W de Lambert deu uma solução exata para os autovalores de energia do sistema quântico correspondente ao modelo descrito pelo operador de Dirac para duplicar e, no caso da igualdade de encargos - um problema de física fundamental - e Corless desenvolvedores de outros sistemas Maple fez uma pesquisa bibliográfica e descobriu que esta função está em toda parte em aplicações práticas.[4]

Diferenciação e integração

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Por diferenciação implícita, é que W satisfaz a equação diferencial ordinária.

 

portanto:

 

A função W (x), e algumas expressões envolvendo W(x) pode ser integrada com a regra de substituição w = W(x), ou seja, x = w ew:

 

Série de Taylor

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A série de Taylor de W0 em torno de 0 pode ser resolvido pelo teorema de inversão de Lagrange, que é derivada de:

 

O raio de convergência é de 1/e, como mostrado pelo critério de d'Alembert. A função definida pela série pode ser estendida a uma função holomorfa definida para todos os números complexos, com um corte de ramo no intervalo (−∞, -1/e]; a função holomorfa definida acima do ramo principal da função W de Lambert.

Generalizações

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O padrão Lambert W funçãoi expressa soluções exatas transcendentais equações algébricas (em x) da forma:

 

onde a0, c e R são constantes reais. A solução é  . Generalizações da função W de Lambert[5][6][7] incluem:

  • Aplicações para a relatividade geral e a mecânica quântica (gravitação quântica) em dimensões inferiores, na verdade um link anteriormente desconhecido (desconhecido antes do artigo de 2007 por Farrugia, Mann e Scott[8]) entre estas duas áreas, onde a mão-direita dos lados de (1) é agora um polinomial quadrática em x:
 
e em que r1 e r2 são reais constantes de distintas, as raízes do polinômio quadrático. Aqui, a solução é uma função tem um argumento x único, mas como os termos e ri e ao são parâmetros dessa função. A este respeito, a generalização assemelha a hipergeométrica função ea função Meijer-G mas que pertence a uma classe diferente de funções. Quando r1 = r2 ambos os lados da (2) pode ser tomada e reduzido a (1) e, portanto, reduz-se a solução a que a função de W padrão. Eq. (2) expressa a equação que rege a Dilaton campo, a partir da qual é derivada a métrica do R = T ou linear de dois corpos problema gravidade em 1 +1 dimensões (uma dimensão espacial e uma dimensão temporal) para o caso de desigualdade (resto massas), bem como, os eigenenergies da mecânica quântica dupla bem Dirac modelo função delta de taxas desiguais em uma dimensão.
 
onde ri e si são distintos constantes reais e x é uma função da distância e da eigenenergy internuclear R. Eq. (3) com os seus casos especializados expressa em (1) e (2) está relacionado com uma classe grande de equações diferenciais de atraso. Graças a noção de Hardy de um "derivativo de falso", exato varias raizes foram encontrados para casos especiais de equação (3).[10]

As aplicações função W de Lambert de problemas físicos fundamentais não se esgotam, mesmo para o caso padrão expressa em (1), como visto recentemente na área da física atómica e molecular, [11] e o critério Keiper-Li para o Hipótese de Riemann.[12]

Referências

  1. Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, Band III, 128-168, 1758 (facsimile)
  2. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29-51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350-369, 1921. (facsimile)
  3. Pólya G und Szegö G, 1925, Aufgaben und Lehrsätze der Analysis (Springer, Berlin)
  4. R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare e D.J. Jeffrey, Lambert's W function in Maple, The Maple Technical Newsletter (MapleTech), 9, pp. 12-22, (1993).
  5. Scott T.C. e Mann R.B., General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (avril 2006), pp.41-47, [1]; artigo Arxiv [2]
  6. T.C. Scott, G. Fee e J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 47, no. 3, (setembro 2013), pp. 75-83
  7. T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst e W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 48, no. 2, (junho 2014), pp. 42-56
  8. Farrugia P.S, Mann R.B. e Scott T.C., N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; artigo Arxiv [4]
  9. Scott T.C., Aubert-Frécon M. e Grotendorst J., New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; artigo Arxiv [6]
  10. Aude Maignan e T.C. Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W function", SIGSAM, vol. 50, no. 2, (junho 2016), pp. 45-60
  11. Scott T.C. , Lüchow A., Bressanini D. e Morgan III J.D., The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]
  12. R.C. McPhedran, T.C Scott e Aude Maignan, "The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions", ACM Commun. Comput. Algebra, vol. 57, no. 3, (dezembro 2023), pp. 85-110