Raio terrestre

O Raio terrestre (denotado pelos símbolos R, ou ) é a distância do centro da Terra a um ponto na superfície ou próximo a ela. Aproximando a figura da Terra por um esferoide terrestre, o raio varia de um máximo de quase 6.378 km (raio equatorial, denotado a) a um mínimo de quase 6.357 km (raio polar, denotado b).

Raio terrestre
Seção transversal do interior da Terra
Informação geral
Sistema de unidade Astronomia, geofísica
Unidade de Distância
Símbolo R, ou
Conversões
1 R em ... ... é igual a ...
Unidade de base SI 6.3781×106 m[1]
Sistema métrico 6.357 a 6.378 km
Unidade inglesa 3.950 a 3.963 mi

Um raio nominal terrestre às vezes é usado como uma unidade de medida em astronomia e geofísica, que é recomendado pela União Astronômica Internacional como o valor equatorial.[1]

Um valor médio global é geralmente considerado como 6.371 quilômetros com uma variabilidade de 0.3% (+/- 10 km) pelas seguintes razões. A União Internacional de Geodésia e Geofísica (IUGG) fornece três valores de referência: o raio médio (R1) de três raios medidos em dois pontos do equador e um pólo; o raio autálico, que é o raio de uma esfera com a mesma área superficial (R2); e o raio volumétrico, que é o raio de uma esfera com o mesmo volume do elipsóide (R3).[2] Todos os três valores são cerca de 6.371 quilômetros.

Outras maneiras de definir e medir o raio da Terra envolvem o raio de curvatura. Algumas definições produzem valores fora da faixa entre o raio polar e o raio equatorial porque incluem topografia local ou geoidal ou porque dependem de considerações geométricas abstratas.

IntroduçãoEditar

 
Um diagrama em escala do achatamento do elipsóide de referência do IERS de 2003, com o norte no topo. A região azul claro é um círculo. A borda externa da linha azul escura é uma elipse com o mesmo semieixo menor do círculo e a mesma excentricidade da Terra. A linha vermelha representa a linha de Kármán 100 km acima do nível do mar, enquanto a área amarela denota a faixa de altitude da ISS em órbita baixa da Terra

A rotação da Terra, as variações internas de densidade e as forças de maré externas fazem com que sua forma se desvie sistematicamente de uma esfera perfeita.[a] A topografia local aumenta a variância, resultando em uma superfície de profunda complexidade. Nossas descrições da superfície da Terra devem ser mais simples do que a realidade para serem tratáveis. Portanto, criamos modelos para aproximar as características da superfície da Terra, geralmente contando com o modelo mais simples que se adapta à necessidade.

Cada um dos modelos de uso comum envolve alguma noção do raio geométrico. Estritamente falando, as esferas são os únicos sólidos que têm raios, mas usos mais amplos do termo raio são comuns em muitos campos, incluindo aqueles que lidam com modelos da Terra. A seguir está uma lista parcial de modelos da superfície da Terra, ordenados do exato para o mais aproximado:

No caso do geoide e elipsoides, a distância fixa de qualquer ponto no modelo ao centro especificado é chamada de "um raio da Terra" ou "o raio da Terra naquele ponto".[d] Também é comum se referir a qualquer raio médio de um modelo esférico como "o raio da Terra". Ao considerar a superfície real da Terra, por outro lado, é incomum referir-se a um "raio", uma vez que geralmente não há necessidade prática. Em vez disso, a elevação acima ou abaixo do nível do mar é útil.

Independentemente do modelo, qualquer raio fica entre o mínimo polar de cerca de 6.357 km e o máximo equatorial de cerca de 6.378 km. Consequentemente, a Terra se desvia de uma esfera perfeita em apenas um terço de um por cento, o que apoia o modelo esférico na maioria dos contextos e justifica o termo "raio da Terra". Embora os valores específicos sejam diferentes, os conceitos neste artigo se generalizam para qualquer planeta importante.

Física da deformação da TerraEditar

A rotação de um planeta faz com que ele se aproxime de um elipsoide/esferoide achatado com uma protuberância no equador e achatamento nos polos norte e sul, de modo que o raio equatorial a é maior do que o raio polar b em aproximadamente aq. A constante de obliquidade q é dada por

 

Onde ω é a frequência angular, G é a constante gravitacional e M é a massa do planeta.[e] Para a Terra 1q ≈ 289, que está perto do achatamento inverso medido 1f ≈ 298.257. Além disso, a protuberância no equador mostra variações lentas. A protuberância estava diminuindo, mas desde 1998 ela aumentou, possivelmente devido à redistribuição da massa do oceano por meio das correntes.[4]

A variação na densidade e na espessura da crosta faz com que a gravidade varie ao longo da superfície e no tempo, de modo que o nível médio do mar difere do elipsoide. Essa diferença é a altura do geoide, positiva acima ou fora do elipsoide, negativa abaixo ou dentro. A variação da altura do geoide é inferior a 110 m na Terra. A altura do geoide pode mudar abruptamente devido a terremotos (como o terremoto Sumatra-Andaman) ou redução nas massas de gelo (como na Groenlândia).[5]

Nem todas as deformações se originam na Terra. A atração gravitacional da Lua ou do Sol pode fazer com que a superfície da Terra em um determinado ponto varie por décimos de metro em um período de quase 12 horas (veja a maré da Terra).

Raio e condições locaisEditar

 
O método de Albiruni (973–1048) para o cálculo do raio da Terra simplificou a medição da circunferência em comparação com a medição de dois locais distantes um do outro

Dadas as influências locais e transitórias na altura da superfície, os valores definidos abaixo são baseados em um modelo de "uso geral", refinado da forma mais global e precisa possível dentro de 5 m da altura do elipsoide de referência e dentro de 100 m do nível médio do mar (negligenciando a altura do geoide).

Além disso, o raio pode ser estimado a partir da curvatura da Terra em um ponto. Como um toro, a curvatura em um ponto será maior (mais estreita) em uma direção (norte-sul na Terra) e menor (mais plana) perpendicularmente (leste-oeste). O raio de curvatura correspondente depende da localização e direção da medição daquele ponto. Uma consequência é que a distância até o verdadeiro horizonte no equador é ligeiramente mais curta na direção norte-sul do que na direção leste-oeste.

Em resumo, as variações locais no terreno impedem a definição de um único raio "preciso". Só se pode adotar um modelo idealizado. Desde a estimativa de Eratóstenes, muitos modelos foram criados. Historicamente, esses modelos foram baseados na topografia regional, dando o melhor elipsoide de referência para a área sob levantamento. À medida que o sensoriamento remoto por satélite e especialmente o Sistema de Posicionamento Global ganharam importância, verdadeiros modelos globais foram desenvolvidos que, embora não sejam tão precisos para o trabalho regional, melhor se aproximam da Terra como um todo.

Extrema: raios equatorial e polarEditar

Os raios a seguir são derivados do elipsoide de referência do World Geodetic System 1984 (WGS-84).[6] É uma superfície idealizada e as medições da Terra usadas para calculá-la têm uma incerteza de ±2 m nas dimensões equatorial e polar.[7] Discrepâncias adicionais causadas por variação topográfica em locais específicos podem ser significativas. Ao identificar a posição de um local observável, o uso de valores mais precisos para os raios WGS-84 pode não produzir uma melhoria correspondente na precisão.

O valor do raio equatorial é definido com aproximação de 0.1 m no WGS-84. O valor do raio polar nesta seção foi arredondado para o 0.1 m mais próximo, o que se espera ser adequado para a maioria dos usos. Consulte o elipsoide WGS-84 se um valor mais preciso para seu raio polar for necessário.

  • O raio equatorial a da Terra, ou semieixo maior, é a distância de seu centro ao equador e é igual a 6.378.1370 km.[8] O raio equatorial é frequentemente usado para comparar a Terra com outros planetas.
  • O raio polar b da Terra, ou eixosemi menor, é a distância de seu centro aos polos Norte e Sul e é igual a 6.356.7523 km.

Raios dependentes da localizaçãoEditar

 
Três raios diferentes em função da latitude da Terra. R é o raio geocêntrico; M é o raio de curvatura meridional; e N é o raio de curvatura vertical principal

Raio geocêntricoEditar

O raio geocêntrico é a distância do centro da Terra a um ponto na superfície esferoide na latitude geodésica φ:

 

Onde a e b são, respectivamente, o raio equatorial e o raio polar.

Os raios geocêntricos extremos no elipsoide coincidem com os raios equatorial e polar. Eles são vértices da elipse e também coincidem com os raios de curvatura mínimo e máximo.

Raios de curvaturaEditar

Raios de curvatura principaisEditar

Existem dois raios de curvatura principais: ao longo das seções normais meridional e vertical principal.

MeridionalEditar

Em particular, o raio de curvatura meridional da Terra (na direção do meridiano (norte-sul)) em φ é:

 

onde   é a excentricidade da Terra. Este é o raio que Eratóstenes mediu em sua medição de arco.

Vertical principalEditar

Se um ponto apareceu exatamente a leste do outro, encontra-se a curvatura aproximada na direção leste-oeste.[f]

O raio de curvatura vertical principal da Terra, também chamado de raio de curvatura transversal da Terra, é definido perpendicular (normal ou ortogonal) a M na latitude geodésica φ é:[g]

 

B. R. Bowring[9] forneceu uma prova geométrica de que esta é a distância perpendicular da superfície ao eixo polar.

Valores particularesEditar

O raio de curvatura meridional da Terra no equador é igual ao reto semi-latus do meridiano:

b2a = 6.335.439 km

O raio de curvatura vertical principal da Terra no equador é igual ao raio equatorial, N = a.

O raio polar de curvatura da Terra (qualquer meridional ou vertical principal) é:

a2b = 6.399.594 km
DerivaçãoEditar
Conteúdo estendido

As curvaturas principais são as raízes da Equação (125) em:[10]

 

onde na primeira forma fundamental para uma superfície (Equação (112) em): [10]

 

E, F e G são elementos do tensor métrico:

 

 ,  ,  

na segunda forma fundamental para uma superfície (Equação (123) em): [10]

 

e, f e g são elementos do tensor de forma:

 

  é a unidade normal à superfície em  , e porque   e   são tangentes à superfície,

 

é normal à superfície em  .

Com   para um esferoide achatado, as curvaturas são

  and  

e os principais raios de curvatura são

  and  

O primeiro e o segundo raios de curvatura correspondem, respectivamente, aos raios meridional e vertical principal da Terra.

Geometricamente, a segunda forma fundamental fornece a distância de   ao plano tangente em  .

Raios de curvatura combinadosEditar

AzimuthalEditar

O raio azimutal de curvatura da Terra, ao longo de um curso em um azimute (medido no sentido horário do norte) α em φ, é derivado da fórmula de curvatura de Euler da seguinte forma:[11]:97

 
Não-direcionalEditar

É possível combinar os raios de curvatura principais acima de uma maneira não-direcional.

O raio de curvatura gaussiana da Terra na latitude φ é:[11]

 

Onde K é a curvatura Gaussiana,  .

O raio médio de curvatura da Terra na latitude φ é:[11]:97

 

Rádio globalEditar

A Terra pode ser modelada como uma esfera de várias maneiras. Esta seção descreve as formas comuns. Os vários raios derivados aqui usam a notação e as dimensões observadas acima para a Terra como derivadas do elipsoide WGS-84;[6] nomeadamente,

Raio equatorial: a = (6378.1370 km)
Raio polar: b = (6356.7523 km)

Uma esfera sendo uma aproximação grosseira do esferoide, que em si é uma aproximação do geoide, as unidades são fornecidas aqui em quilômetros ao invés da resolução em milímetros apropriada para geodésia.

Raio nominalEditar

Em astronomia, a União Astronômica Internacional denota o raio equatorial nominal da Terra como  , que é definido como 6.378.1 km.[1]:3 O raio polar nominal da Terra é definido como   = 6.356.8 km. Esses valores correspondem à convenção de maré zero da Terra. O raio equatorial é convencionalmente usado como o valor nominal, a menos que o raio polar seja explicitamente necessário.[1]:4 O raio nominal serve como uma unidade de comprimento para a astronomia. (A notação é definida de forma que possa ser facilmente generalizada para outros planetas; por exemplo,   para o raio polar nominal de Júpiter.)

Raio médioEditar

 
Raios equatorial (a), polar (b) e médio da Terra, conforme definido na revisão do World Geodetic System de 1984 (fora da escala)

Em geofísica, a União Internacional de Geodésia e Geofísica (IUGG) define o raio médio da Terra (denotado R1) como[2]

 

O fator de dois é responsável pela simetria biaxial no esferoide da Terra, uma especialização do elipsoide triaxial. Para a Terra, o raio médio é 6.371.0088 km.[12]

Raio autálicoEditar

O raio autálico da Terra (que significa "área igual") é o raio de uma esfera perfeita hipotética que tem a mesma área de superfície do elipsoide de referência. O IUGG denota o raio autálico como R2.[2] Existe uma solução de forma fechada para um esferoide:[13]

 

Onde e2 = a2b2a2 e A é a área da superfície do esferoide.

Para a Terra, o raio autálico é 6.371.0072 km.[12]

Raio volumétricoEditar

Outro modelo esférico é definido pelo raio volumétrico da Terra, que é o raio de uma esfera de volume igual ao elipsoide. O IUGG denota o raio volumétrico como R3.[2]

 

Para a Terra, o raio volumétrico é igual a 6.371.0008 km.[12]

Raio retificadorEditar

Outro raio global é o raio de retificação da Terra, dando uma esfera com circunferência igual ao perímetro da elipse descrita por qualquer seção transversal polar do elipsoide. Isso requer uma elíptica integral para encontrar, dados os raios polar e equatorial:

 

O raio de retificação é equivalente à média meridional, que é definida como o valor médio de M:[13]

 

Para os limites de integração de [0,π2], as integrais para retificar o raio e o raio médio avaliam o mesmo resultado, que, para a Terra, chega a 6.367.4491 km.

A média meridional é bem aproximada pela média semicúbica dos dois eixos,

 

que difere do resultado exato em menos de 1 μm (4 × 10−5 em); a média dos dois eixos,

 

cerca de 6.367.445 km, também podem ser usados.

Raio de curvatura médio globalEditar

O raio de curvatura médio global, calculado em todos os azimutes e em todos os pontos da superfície, é dado pela curvatura gaussiana média global ponderada por área:

 

Para o elipsoide WGS-84, a curvatura média é igual a 6.370.994 km.

Raios topográficosEditar

As expressões matemáticas acima se aplicam à superfície do elipsoide. Os casos abaixo consideram a topografia da Terra, acima ou abaixo de um elipsoide de referência. Como tal, são distâncias geocêntricas topográficas, Rt, que não dependem apenas da latitude.

Extremos topográficosEditar

  • Máximo Rt: o cume do Chimborazo está a 6.384.4 km do centro da Terra.
  • Mínimo Rt: o fundo do Oceano Ártico está a aproximadamente 6.352.8 km do centro da Terra.[14]

Média global topográficaEditar

A distância geocêntrica média topográfica eleva a média em todos os lugares, resultando em um valor 230 m maior do que o raio médio do IUGG, raio autálico ou o raio volumétrico. Esta média topográfica é 6.371.230 km com incerteza de 10 m.[15]

Quantidades derivadas: diâmetro, circunferência, comprimento do arco, área, volumeEditar

O diâmetro da Terra é simplesmente duas vezes o raio da Terra; por exemplo, diâmetro equatorial (2a) e diâmetro polar (2b). Para o elipsoide WGS-84, isso é respectivamente:

  • 2a=12.756.2740 km,
  • 2b=12.713.5046 km,

A circunferência da Terra é igual ao comprimento do perímetro. A circunferência equatorial é simplesmente o perímetro do círculo: Ce=2πa, em termos do raio equatorial, a. A circunferência polar é igual a Cp=4mp, quatro vezes o quarto meridiano mp=aE(e), onde o raio polar b entra pela excentricidade, e=(1-b2/a2)0.5; consulte Elipse#Circunferência para obter mais detalhes.

O comprimento do arco de curvas de superfície mais gerais, como arcos meridianos e geodésicos, também pode ser derivado dos raios equatorial e polar da Terra.

Da mesma forma para a área de superfície, seja com base em uma projeção de mapa ou um polígono geodésico.

O volume da Terra, ou do elipsoide de referência, é V = 43πa2b. Usando os parâmetros do elipsoide de revolução WGS-84, a = 6,378.137 km e b = 6.356.7523142km, V = 1.08321 × 1012 km3.[16]

Valores publicadosEditar

Esta tabela resume os valores aceitos do raio da Terra.

Agência Descrição Valor (em metros) Ref
IAU Nominal "maré zero" equatorial 6378100 [1]
IAU Nominal "maré zero" polar 6356800 [1]
IUGG Raio equatorial 6378137 [2]
IUGG Eixo semimenor (b) 6356752.3141 [2]
IUGG Raio polar de curvatura (c) 6399593.6259 [2]
IUGG Raio médio (R1) 6371008.7714 [2]
IUGG Raio da esfera da mesma superfície (R2) 6371007.1810 [2]
IUGG Raio da esfera do mesmo volume (R3) 6371000.7900 [2]
IERS Elipsoide WGS-84, semieixo maior (a) 6378137.0 [6]
IERS Elipsoide WGS-84, semieixo menor (b) 6356752.3142 [6]
IERS WGS-84 primeira excentricidade ao quadrado (e2) 0.00669437999014 [6]
IERS Elipsoide WGS-84, raio de curvatura polar (c) 6399593.6258 [6]
IERS Elipsoide WGS-84, raio médio dos semi-eixos (R1) 6371008.7714 [6]
IERS Elipsoide WGS-84, raio da esfera de área igual (R2) 6371007.1809 [6]
IERS Elipsoide WGS-84, raio da esfera de igual volume (R3) 6371000.7900 [6]
GRS 80 semieixo maior (a) 6378137.0
GRS 80 semieixo menor (b) ≈6356752.314140
Terra esférica com raio aproximado (RE) 6366707.0195 [17]
Raio de curvatura meridional no equador 6335439
Máximo (o cume do Chimborazo) 6384400 [14]
Mínimo (o fundo do Oceano Ártico) 6352800 [14]
Distância média do centro à superfície 6371230±10 [15]

HistóriaEditar

A primeira referência publicada ao tamanho da Terra apareceu por volta de 350 a.C., quando Aristóteles relatou em seu livro Sobre o Céu[18] que os matemáticos haviam adivinhado que a circunferência da Terra era de 400.000 estádios. Os estudiosos interpretaram a figura de Aristóteles como algo entre altamente preciso[19] e quase o dobro do valor verdadeiro.[20] A primeira medição científica conhecida e cálculo da circunferência da Terra foi realizada por Eratóstenes por volta de 240 a.C. As estimativas da precisão da medição de Eratóstenes variam de 0.5% a 17%.[21] Tanto para Aristóteles quanto para Eratóstenes, a incerteza na precisão de suas estimativas se deve à incerteza atual sobre qual comprimento de estádio eles se referiam.

Notas

  1. Para obter detalhes, consulte a figura da Terra, geoide e maré da Terra.
  2. Não existe um centro único para o geoide; varia de acordo com as condições geodésicas locais.
  3. Em um elipsoide geocêntrico, o centro do elipsóide coincide com algum centro computado da Terra e é a melhor modelagem da Terra como um todo. Os elipsoides geodésicos são mais adequados às idiossincrasias regionais do geoide. Uma superfície parcial de um elipsoide é ajustada à região, caso em que o centro e a orientação do elipsoide geralmente não coincidem com o centro de massa da Terra ou eixo de rotação.
  4. O valor do raio é completamente dependente da latitude no caso de um modelo elipsoide, e quase isso no geoide.
  5. Isso segue da regra de definição da União Astronômica Internacional (2): um planeta assume uma forma devido ao equilíbrio hidrostático onde a gravidade e as forças centrífugas estão quase equilibradas.[3]
  6. As direções leste-oeste podem ser enganosas. O ponto B, que aparece exatamente a leste de A, estará mais próximo do equador do que A. Assim, a curvatura encontrada desta forma é menor do que a curvatura de um círculo de latitude constante, exceto no equador. O oeste pode ser trocado pelo leste nesta discussão.
  7. N é definido como o raio de curvatura no plano normal à superfície do elipsoide e ao meridiano que o atravessa no ponto de interesse específico.

Referências

  1. a b c d e f Mamajek, E. E; Prsa, A; Torres, G; et al. (2015). «IAU 2015 Resolution B3 on Recommended Nominal Conversion Constants for Selected Solar and Planetary Properties». arXiv:1510.07674  [astro-ph.SR] 
  2. a b c d e f g h i j Moritz, H. (1980). Geodetic Reference System 1980, by resolution of the XVII General Assembly of the IUGG in Canberra.
  3. IAU 2006 General Assembly: Result of the IAU Resolution votes Arquivado em 2006-11-07 no Wayback Machine.
  4. Satellites Reveal A Mystery Of Large Change In Earth's Gravity Field , Aug. 1, 2002, Goddard Space Flight Center.
  5. NASA's Grace Finds Greenland Melting Faster, 'Sees' Sumatra Quake, December 20, 2005, Goddard Space Flight Center.
  6. a b c d e f g h i «WGS84RPT.tif:Corel PHOTO-PAINT» (PDF). Consultado em 17 de outubro de 2018 
  7. «Info» (PDF). earth-info.nga.mil 
  8. «Equatorial Radius of the Earth». Numerical Standards for Fundamental Astronomy: Astronomical Constants : Current Best Estimates (CBEs). IAU Division I Working Group. 2012. Consultado em 10 de agosto de 2016. Arquivado do original em 26 de agosto de 2016 
  9. Bowring, B. R. (outubro de 1987). «Notes on the curvature in the prime vertical section». Survey Review. 29 (226): 195–196. doi:10.1179/sre.1987.29.226.195 
  10. a b c Lass, Harry (1950). Vector and Tensor Analysis. [S.l.]: McGraw Hill Book Company, Inc. pp. 71–77  Verifique o valor de |url-access=limited (ajuda)
  11. a b c Torge, Wolfgang (2001). Geodesy. [S.l.: s.n.] ISBN 9783110170726 
  12. a b c Moritz, H. (março de 2000). «Geodetic Reference System 1980». Journal of Geodesy. 74 (1): 128–133. Bibcode:2000JGeod..74..128.. doi:10.1007/s001900050278  Parâmetro desconhecido |s2cid= ignorado (ajuda)
  13. a b Snyder, J.P. (1987). Map Projections – A Working Manual (US Geological Survey Professional Paper 1395) p. 16–17. Washington D.C: United States Government Printing Office.
  14. a b c «Discover-TheWorld.com – Guam – POINTS OF INTEREST – Don't Miss – Mariana Trench». Guam.discover-theworld.com. 23 de janeiro de 1960. Consultado em 16 de setembro de 2013. Arquivado do original em 10 de setembro de 2012 
  15. a b Frédéric Chambat; Bernard Valette (2001). «Mean radius, mass, and inertia for reference Earth models» (PDF). Physics of the Earth and Planetary Interiors. 124 (3–4): 234–253. Bibcode:2001PEPI..124..237C. doi:10.1016/S0031-9201(01)00200-X. Consultado em 18 de novembro de 2017 
  16. Williams, David R. (1 de setembro de 2004), Earth Fact Sheet, NASA, consultado em 17 de março de 2007 
  17. Phillips, Warren (2004). Mechanics of Flight. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc. p. 923. ISBN 0471334588 
  18. Aristotle. On the Heavens. Book II 298 B. [S.l.: s.n.] Consultado em 5 de novembro de 2017 
  19. Drummond, William (1817). «On the Science of the Egyptians and Chaldeans, Part I». The Classical Journal. 16: 159 
  20. «Figure of the Earth». Encyclopædia Britannica. 1911 
  21. «Eratosthenes, the Greek Scientist». Encyclopædia Britannica. 2016 

Ligações externasEditar