Disco (geometria)

Em geometria, um disco é a região em um plano delimitada por um círculo. Um disco é considerado fechado se contiver a circunferência que constitui seu limite, e aberto se não contiver.

Um disco.

Para um raio, $r$, um disco aberto é geralmente denotado como $D_{r}$ e um disco fechado é ${\overline {D_{r}}}$. No entanto, no campo da topologia, o disco fechado é geralmente denotado como $D^{2}$, enquanto o disco aberto é $\operatorname {Int} D^{2}$.

Fórmulas

Em coordenadas cartesianas, o disco aberto de centro $(a,b)$ e o raio $R$ é dado pela fórmula:

$D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}$

enquanto o disco fechado com o mesmo centro e raio é dado por:

${\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.$

A área de um disco fechado ou aberto de raio $R$ é $\pi R^{2}$.

Propriedades

O disco tem simetria circular.

O disco aberto e o disco fechado não são topologicamente equivalentes (ou seja, não são homeomórficos), pois têm propriedades topológicas diferentes um do outro. Por exemplo, todo disco fechado é compacto, ao passo que todo disco aberto não é compacto. Entretanto, do ponto de vista da topologia algébrica, eles compartilham muitas propriedades: ambos são contraíveis e, portanto, são homotopicamente equivalentes a um único ponto. Isso implica que seus grupos fundamentais são triviais e todos os grupos de homologia são triviais, exceto o 0, que é isomórfico a Z. A característica de Euler de um ponto (e, portanto, também a de um disco fechado ou aberto) é 1.

Todo mapa contínuo do disco fechado para ele mesmo tem pelo menos um ponto fixo (não é necessário que o mapa seja bijetivo ou mesmo sobrejetivo); esse é o caso $n=2$ do teorema do ponto fixo de Brouwer. A afirmação é falsa para o disco aberto:

Considere, por exemplo, a função $f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)$ que mapeia cada ponto do disco unitário aberto para outro ponto no disco unitário aberto à direita do ponto dado. Mas para o disco unitário fechado, ele fixa cada ponto no semicírculo $x^{2}+y^{2}=1,x>0$.

Como uma distribuição estatística

A distância média de um local a partir de pontos em um disco.

Uma distribuição uniforme em um disco circular unitário é ocasionalmente encontrada em estatística. Ela ocorre mais comumente em pesquisa operacional na matemática do planejamento urbano, onde pode ser usada para modelar uma população dentro de uma cidade. Outros usos podem tirar proveito do fato de ser uma distribuição para a qual é fácil calcular a probabilidade de que um determinado conjunto de desigualdades lineares seja satisfeito. (As distribuições gaussianas no plano exigem quadratura numérica).

"Um argumento engenhoso por meio de funções elementares" mostra que a distância euclidiana média entre dois pontos no disco é ${\frac {128}{45\pi }}\approx 0,90541$, enquanto a integração direta em coordenadas polares mostra que a distância média ao quadrado é 1.

Se nos for dado um local arbitrário a uma distância q do centro do disco, também é interessante determinar a distância média $b(q)$ dos pontos na distribuição até esse local e o quadrado médio dessas distâncias. O último valor pode ser calculado diretamente como $q^{2}+{\frac {1}{2}}$.

Distância média até um ponto interno arbitrário

A distância média de um disco até um ponto interno Para encontrar $b(q)$, precisamos analisar separadamente os casos em que a localização é interna ou externa, ou seja, em que $q\lessgtr 1$, e descobrimos que em ambos os casos o resultado só pode ser expresso em termos de integrais elípticas completas.

Se considerarmos uma localização interna, nosso objetivo (olhando para o diagrama) é calcular o valor esperado de $r$ sob uma distribuição cuja densidade é ${\frac {1}{\pi }}$ para $0\leq r\leq s(\theta )$, integrando em coordenadas polares centradas no local fixo para o qual a área de uma célula é $r$ $dr$ $d\theta$; portanto

$b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .$

Aqui $s(\theta )$ pode ser encontrado em termos de $q$ e $\theta$ usando a lei dos cossenos. As etapas necessárias para avaliar a integral, juntamente com várias referências, podem ser encontradas no artigo de Lew et al.; o resultado é que

$$b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}$$

onde $K$ e $E$ são integrais elípticas completas do primeiro e segundo tipos. $b(0)={\frac {2}{3}}$; $b(1)={\frac {32}{9\pi }}\approx 1,13177$

Distância média até um ponto externo arbitrário

A distância média de um disco até um ponto externo.

A distância média de um disco a um ponto externo Voltando a um local externo, podemos configurar a integral de maneira semelhante, desta vez obtendo

$$b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sen}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta$$

onde a lei dos cossenos nos diz que $s_{+}(\theta )$ e $s_{-}(\theta )$ são as raízes para $s$ da equação

$$s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.$$

Portanto

$$s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.$$

Podemos substituir $u=qsen\theta$ para obter

$$s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.$$

usando integrais padrão.

Portanto, novamente $b(1)={\frac {32}{9\pi }}$ e também

$$\lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.$$

Ver também

• Coroa circular
• Bola (matemática)
• Segmento circular