Intervalo de massa

Na teoria quântica de campos, o intervalo de massa é a diferença entre a energia do vácuo e próximo menor estado de energia possível. A energia do vácuo pode ser definida por zero, e assumindo que todos estados de energia podem ser descritos como partículas em funções de onda, o intervalo de massa é a massa da partícula mais leve.

Já que a energia exata do valor próprio é infinitamente espalhada, logo excluída de uma descrição matemática formal, uma descrição mais apurada é que o intervalo de massa é a energia ínfima de qualquer estado que seja ortogonal em relação ao vácuo.

Definição

Para um dado campo real $\phi (x)$, pode-se dizer que a teoria possui um intervalo de massa se uma qualquer de dois pontos possui a propriedade

$\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)$

onde $\Delta _{0}>0$ é o menor valor energético no espectro do hamiltoniano, ou seja, é o intervalo de massa. Esta quantidade, facilmente generalizada para outros campos, é uma medida generalizada na teoria do retículo gauge. Isto foi matematicamente provado desta forma que pela teoria de Yang-Mills se desenvolve um intervalo de massa. O propagador terá a propriedade

$\lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constante}$

sendo a constante finita. Um exemplo típico é oferecido por uma partícula massiva e livre, neste caso, a constante possui o valor $1/{m^{2}}$. No mesmo limite, o propagador para a partícula sem massa será singular.

Exemplo

Um exemplo de intervalo de massa para teorias de partículas sem massa, pode ser visto na quebra espontânea de simetria ou no mecanismo de Higgs. No primeiro caso, tem-se que lidar com a aparência de excitações sem massa, Bóson de Goldstone, que são removidos pelo último caso devido a liberdade de gauge. A quantização preserva esta propriedade.

Um quark escalar sem massa pela teoria quântica de campos desenvolve um intervalo de massa de níveis clássicos. Então considere-se

$\Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.$

esta equação possui a seguinte solução

$\phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)$

onde $\mu$ e $\theta$ possuem integrais constantes e $sn$ é uma função elíptica de Jacobi, fornece

$p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.$

Representação de Källén-Lehmann

Se a representação espectral de Källén-Lehmann se confirmar, neste estágio se excluiria as teorias de gauge, pois a função de densidade espectral pode ser descrita de forma simples com um espectro discreto com um intervalo de massa

$\rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})$

onde $\rho _{c}(\mu ^{2})$ é a contribuição das partículas do espectro. Neste caso o propagador terá a seguinte forma

$\Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}$

sendo $4m_{N}^{2}$ aproximadamente o ponto inicial do setor de partículas. Agora, utilizando-se o facto que

$\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1$

Obtém-se a seguinte conclusão para as constantes na densidade espectral

$1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})$.

É importante enfatizar que esta representação ainda não foi comprovada numa teoria de gauge,

Ver também

• Quebra espontânea de simetria
• Existência de Yang–Mills e o intervalo de massa

Ligações externas

• «Vídeo aula a respeito da natureza do problema intervalo de massa com a formulação de Yang-Mills» (em inglês). - Mathematical Sciences Research Institute 
• «Intervalo de massa para teorias escalares de campo» (em inglês). - Universidade de Toronto