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Em matemática, um processo de Bessel, que recebe este nome em homenagem a Friedrich Wilhelm Bessel, é um tipo de processo estocástico.[1]

Definição formal

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Três representações de processos de Bessel

O processo de Bessel de um ordem   é o processo de valores reais   dado por

 

em que   denota a norma euclidiana em   e   é um processo de Wiener (movimento browniano) de   dimensões a partir da origem.

Este processo de Bessel de   dimensões é a solução para a equação diferencial estocástica[2]

 

Em que   é um processo de Wiener (movimento browniano) de dimensão  . Note que esta equação diferencial estocástica faz sentido para qualquer parâmetro real   (ainda que o termo de deriva seja singular em  ). Assumindo-se que   começou a partir da origem, a condição inicial é  

Notação

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Uma notação para o processo de Bessel de dimensão   iniciado em   é  .

Dimensões específicas

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Para  , o processo de Wiener de   dimensões é transitório a partir de seu ponto de origem: com probabilidade  ,   para todo  . É, entretanto, recorrente na vizinhança para  , o que significa que, com probabilidade  , para qualquer  , há   arbitrariamente grandes com  . Por outro lado, é verdadeiramente transitório para  , o que significa que   para todo   suficientemente grande.

Para  , o processo de Bessel é geralmente iniciado em pontos diferentes de  , já que a deriva a   é tão forte que o processo fica preso a   assim que atinge  .

Relação com movimento browniano

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Processos de Bessel de dimensões   e   são relacionados a tempos locais do movimento browniano via teoremas de Ray-Knight.[3]

A lei de um movimento browniano perto dos extremos de   é a lei de um processo de Bessel tridimensional (Fórmula de Tanaka).

Referências

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  1. Rogers, L. C. G.; Williams, David (13 de abril de 2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521775946 
  2. Øksendal, Bernt (1 de janeiro de 2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540047582 
  3. Revuz, Daniel; Yor, Marc (9 de março de 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662064009 

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