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História da matemática

campo de estudo que investiga a origem das descobertas matemáticas e os métodos e notações do passado
(Redirecionado de História da Matemática)

A história da matemática trata da origem das descobertas matemáticas e dos métodos e notações matemáticas do passado. Antes da era moderna e da disseminação mundial do conhecimento, exemplos escritos de novos desenvolvimentos matemáticos vieram à luz apenas em alguns locais. A partir de 3000 a.C., os estados mesopotâmicos da Suméria, Acádia e Assíria, seguidos de perto pelo Egito Antigo e o estado levantino de Ebla começaram a usar aritmética, álgebra e geometria para fins de tributação, comércio, trocas e também nos padrões da natureza, no campo da astronomia e para registrar o tempo e formular calendários.

Uma prova dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), amplamente considerado o livro-texto mais influente de todos os tempos.[1]

Os primeiros textos matemáticos disponíveis são da Mesopotâmia e Egito – Plimpton 322 (Babilônia c. 2000 – 1900 a.C.),[2] o Papiro de Rhind (Egípcio c. 1800 a.C.)[3] e o Papiro de Moscou (Egípcio c. 1890 a.C.). Todos esses textos mencionam os chamados ternos pitagóricos, portanto, por inferência, o teorema de Pitágoras parece ser o desenvolvimento matemático mais antigo e difundido depois da aritmética e da geometria básicas.

O estudo da matemática como uma "disciplina demonstrativa" começou no século VI a.C. com os pitagóricos, que cunharam o termo "matemática" do grego antigo μάθημα (matema), que significa "sujeito de instrução".[4] A matemática grega refinou muito os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático nas provas) e expandiu o assunto da matemática.[5] Embora não tenham feito virtualmente nenhuma contribuição para a matemática teórica, os antigos romanos usavam a matemática aplicada no levantamento topográfico, engenharia estrutural, engenharia mecânica, contabilidade, criação de calendários lunares e solares, e até artes e ofícios. A matemática chinesa fez contribuições iniciais, incluindo um sistema de valor posicional e o primeiro uso de números negativos.[6][7] O sistema numérico hindu-arábico e as regras para o uso de suas operações, em uso em todo o mundo hoje, evoluíram ao longo do primeiro milênio d.C. na Índia e foram transmitidos para o mundo ocidental via matemática islâmica através do trabalho de Alcuarismi.[8][9] A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida por essas civilizações.[10] Contemporânea com, mas independente dessas tradições, foi a matemática desenvolvida pela civilização maia do México e da América Central, onde o conceito de zero recebeu um símbolo padrão em numerais maias.

Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram traduzidos para o latim a partir do século XII, levando a um maior desenvolvimento da matemática na Europa Medieval. Desde os tempos antigos até a Idade Média, os períodos de descoberta matemática foram frequentemente seguidos por séculos de estagnação. Começando na Itália renascentista no século XV, novos desenvolvimentos matemáticos, interagindo com novas descobertas científicas, foram feitos em um ritmo crescente que continua até os dias atuais. Isso inclui o trabalho inovador de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz no desenvolvimento do cálculo infinitesimal ao longo do século XVII.

Pré-história

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As origens do pensamento matemático estão nos conceitos de número, padrões na natureza, magnitude e forma.[11] Estudos modernos de cognição animal mostraram que esses conceitos não são exclusivos dos humanos. Tais conceitos teriam feito parte do cotidiano das sociedades de caçadores-coletores. A ideia do conceito de "número" evoluindo gradualmente ao longo do tempo é sustentada pela existência de linguagens que preservam a distinção entre "um", "dois" e "muitos", mas não de números maiores que dois.[11]

O osso de Ishango, encontrado perto das cabeceiras do rio Nilo (nordeste do Congo), pode ter mais de vinte mil anos e consiste em uma série de marcas esculpidas em três colunas que percorrem o comprimento do osso. As interpretações comuns são que o osso de Ishango mostra uma contagem da mais antiga demonstração conhecida de sequências de números primos[12] ou um calendário lunar de seis meses.[13] argumenta que o desenvolvimento do conceito de números primos só poderia ter ocorrido após o conceito de divisão, que ele data depois de dez mil anos a.C., com números primos provavelmente não sendo compreendidos até cerca de 500 a.C. Ele também escreve que "nenhuma tentativa foi feita para explicar por que uma contagem de algo deve exibir múltiplos de dois, números primos entre dez e vinte e alguns números que são quase múltiplos de dez".[14] O osso de Ishango, de acordo com o estudioso Alexander Marshack, pode ter influenciado o desenvolvimento posterior da matemática egípcia, como algumas entradas no osso de Ishango, a aritmética egípcia também fez uso da multiplicação por dois; isso, no entanto, é contestado.[15]

Egípcios pré-dinásticos do 5.º milênio a.C. representavam pictoricamente desenhos geométricos. Alegou-se que os monumentos megalíticos na Inglaterra e na Escócia, datados do 3.º milênio a.C., incorporam ideias geométricas como círculos, elipses e ternos pitagóricos em seu design.[16] No entanto, todos os itens acima são contestados, e os documentos matemáticos indiscutíveis atualmente mais antigos são de fontes egípcias babilônicas e dinásticas.[17]

Babilônia

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Esta seção é um excerto de Matemática babilônica.[editar]
 
Tabuleta de argila babilônica com inscrições. A diagonal mostra uma aproximação da raiz quadrada de 2, com seis casas decimais.
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...
 
A tabuleta Plimpton 322.
Matemática Babilônica (também conhecido como Matemática Assírio-Babilônica[18][19][20][21][22][23]) se refere a qualquer forma de matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia, desde os dias dos antigos Sumérios até a queda da Babilônia em 539 a.C. Os textos matemáticos da Mesopotâmia são abundantes e bem documentados.[24] Em respeito a ordem cronológica eles são divididos em dois grupos: uma da Primeira dinastia babilônica (1830-1531 a.C.), e a segunda principalmente vai até o período do Império Selêucida nos últimos três ou quatro séculos a.C. Em relação ao conteúdo, há apenas pequenas diferenças entre os dois grupos de textos. Assim a matemática Babilônica se mantem constante, em seu conteúdo por cerca de dois milénios.[24] Em contraste com a escassez de fontes da Matemática Egípcia, o conhecimento sobre a matemática Babilônica é derivado de 400 tábuas de argila, desenterrados desde meados do séc XIX. Gravadas em escrita cuneiforme, as tábuas eram escritas quando a argila ainda estava úmida, e depois cozinhadas em fornos ou sob o calor do sol. A maioria das tábuas de argila datam de 1800 até 1600 a.C, e cobre tópicos a quais incluem frações, álgebra, equações quadráticas e equações cúbicas além do teorema de Pitágoras.

Egito

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Esta seção é um excerto de Matemática egípcia antiga § Visão geral.[editar]

Evidências escritas do uso da matemática datam de pelo menos 3200 a.C. com os rótulos de marfim encontrados na Tumba U-j em Abidos. Esses rótulos parecem ter sido usados ​​como etiquetas para bens funerários e alguns são inscritos com números.[25] Outras evidências do uso do sistema numérico decimal podem ser encontradas no Narmer Macehead, que mostra oferendas de 400.000 bois, 1.422.000 cabras e 120.000 prisioneiros.[26] Evidências arqueológicas sugerem que o antigo sistema de contagem egípcio teve origens na África Subsaariana.[27] Além disso, os desenhos de geometria fractal que são difundidos entre as culturas da África Subsaariana também são encontrados na arquitetura egípcia e nos signos cosmológicos.[28]

A evidência do uso da matemática no Império Antigo (c. 2690–2180 a.C.) é escassa, mas pode ser deduzida de inscrições em uma parede perto de uma mastaba em Meidum que fornece diretrizes para a inclinação da mastaba.[29] As linhas no diagrama estão espaçadas a uma distância de um côvado e mostram o uso dessa unidade de medida.[25]

Os primeiros documentos matemáticos verdadeiros datam da 12.ª Dinastia (c. 1990–1800 a.C.). O Papiro de Moscou, o Rolo de Couro Matemático Egípcio, o Papiro de Lahun, que fazem parte da coleção muito maior de Papiros de Kahun e o Papiro 6619 de Berlim, todos datam desse período. O Papiro de Rhind que data do Segundo Período Intermédio (c. 1650 a.C.) é baseado em um texto matemático mais antigo da 12.ª dinastia.[30]

O papiro de Moscou e o papiro de Rhind são os chamados textos de problemas matemáticos. Eles consistem em uma coleção de problemas com soluções. Esses textos podem ter sido escritos por um professor ou aluno envolvido na resolução de problemas típicos de matemática.[25]

Uma característica interessante da matemática egípcia antiga é o uso de frações unitárias.[31] Os egípcios usavam alguma notação especial para frações como 12, 13 e 23 e em alguns textos para 34, mas outras frações foram todas escritas como frações unitárias da forma 1n ou somas dessas frações unitárias. Os escribas usavam tabelas para ajudá-los a trabalhar com essas frações. O Rolo de Couro Matemático Egípcio, por exemplo, é uma tabela de frações unitárias que são expressas como somas de outras frações unitárias. O Papiro de Rhind e alguns dos outros textos contêm 2n tabelas. Essas tabelas permitiam que os escribas reescrevessem qualquer fração da forma 1n como uma soma de frações unitárias.[25]

Durante o Império Novo (c. 1550–1070 a.C.) problemas matemáticos são mencionados no Papiro de Anastasi I literário, e o Papiro de Wilbour da época de Ramessés III registra medições de terras. Na aldeia de trabalhadores de Deir Almedina foram encontrados vários óstracos que registram volumes de sujeira removidos durante a extração dos túmulos.[25][30]

Grécia

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Esta seção é um excerto de Matemática da Grécia Antiga.[editar]
 
A Musa Geometria, no Museu do Louvre

A matemática grega clássica ou matemática da Grécia Antiga é a matemática escrita em grego dentre ~600 a.C. (época em que viveu Tales de Mileto) até o fechamento da Academia de Platão em 529 d.C.[32]

Egípcios, babilônicos e chineses, muito antes do século VI a.C., já eram já capazes de efetuar cálculos e medidas de ordem prática com grande precisão. Foram os gregos, no entanto, que introduziram o método axiomático: as rigorosas provas dedutivas e o encadeamento sistemático de teoremas demonstrativos que tornaram a Matemática uma ciência.[33]

A palavra "matemática" (μαθηματική), que é de origem grega,[34] englobava o que hoje se chama de aritmética, geometria, astronomia e mecânica.[35] Mas os pitagóricos a dividiam em: aritmética, geometria, astronomia, e música. Na concepção de Aristóteles, apenas a aritmética e a geometria, as duas áreas teóricas que mais atraíram os gregos antigos, eram consideradas ciências puramente matemáticas.[36][37]

China

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Esta seção é um excerto de Matemática chinesa.[editar]
 
Os nove capítulos da arte matemática.

A matemática na China surgiu de forma independente por volta do século XI a.C.[38] Os chineses desenvolveram de forma independente números muito grandes e negativos, decimais, um sistema decimal de valor posicional, um sistema binário, álgebra, geometria e trigonometria.

Os matemáticos chineses antigos fizeram avanços no desenvolvimento de algoritmos e na álgebra. Enquanto a matemática grega declinou no oeste durante os tempos medievais, a conquista da álgebra chinesa alcançou o auge no século XIII, quando Zhu Shijie inventou o método de quatro incógnitas.

Como resultado de óbvias barreiras linguísticas e geográficas, bem como de conteúdo, a matemática chinesa e a matemática do antigo mundo mediterrânico são assumidas como se tendo desenvolvido mais ou menos independentemente até ao momento em que Os nove capítulos da arte matemática atingiram a sua forma final, enquanto o Livro sobre Números e Cálculo e o Huainanzi são mais ou menos contemporâneos com a matemática grega clássica. É provável que tenha havido troca de ideias em toda a Ásia através de intercâmbios culturais conhecidos desde pelo menos os tempos romanos. Frequentemente, os elementos da matemática das sociedades primitivas correspondem a resultados rudimentares encontrados mais tarde em ramos da matemática moderna, como a geometria ou a teoria dos números. O teorema de Pitágoras, por exemplo, foi atestado no tempo do duque de Zhou. O conhecimento do triângulo de Pascal também mostrou ter existido na China, séculos antes de Pascal, como na dinastia Song, pelo polímata chinês Shen Kuo.[39]

Índia

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Esta seção é um excerto de Matemática indiana.[editar]

A matemática indiana surgiu no subcontinente indiano[40] a partir de 1 200 a.C. [41] e desenvolveu-se relativamente isolada, sem influência exterior, mas exportando seu conhecimento, até o final do século XVII. No período clássico da matemática indiana (400 a 1600), importantes contribuições foram feitas por estudiosos como Ariabata, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagrama e Nilakantha Somayaji. O sistema de numeração decimal em uso hoje [42] foi primeiramente registrado na matemática indiana.[43] Matemáticos indianos fizeram contribuições iniciais para o estudo do conceito de zero como um número, [44] números negativos, [45] aritmética e álgebra.[46] Além disso, trigonometria era mais avançada na Índia,[47] e, em particular, as definições modernas de seno e cosseno foram desenvolvidas lá.[48] Estes conceitos matemáticos foram transmitidos para o Oriente Médio, China e Europa [46] e levaram a novos desenvolvimentos que agora formam os fundamentos de muitas áreas da matemática.

Trabalhos matemáticos indianos antigos e medievais, todos compostas em sânscrito, geralmente consistiam de uma seção de sutras em que um conjunto de regras ou problemas eram apresentadas com grande economia nos versos, a fim de ajudar a memorização por um estudante. Isto era seguido por uma segunda seção que consistia de um comentário em prosa (às vezes vários comentários de diferentes estudiosos) que explicavam o problema mais detalhadamente e apresentavam uma justificação para a solução. Na seção prosa, a forma (e, portanto, sua memorização) não era considerada tão importante quanto as ideias envolvidas.[40][49] Todos os trabalhos matemáticos foram transmitidos oralmente até cerca de 500 a.C.; depois, foram transmitidos oralmente e em forma manuscrita. O mais antigo documentos matemático produzido existente no subcontinente indiano é a casca de bétula Manuscrito Bakhshali, descoberto em 1881 na aldeia de Bakhshali, perto de Pexauar (atual Paquistão) e é provável que seja do século VII.[50][51]

Um marco posterior na matemática indiana foi o desenvolvimento dos expansões em séries para funções trigonométricas (seno, cosseno e arco tangente) por matemáticos da escola de Querala, no século XV. Seu trabalho notável, completou dois séculos antes da invenção do cálculo na Europa, sendo o que hoje é considerado o primeiro exemplo de uma série de potências (com exceção da série geométrica).[52] No entanto, eles não formularam uma teoria sistemática de diferenciação e integração, nem há qualquer evidência direta de seus resultados serem transmitidos fora de Querala.[53][54][55][56]

Impérios islâmicos

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Esta seção é um excerto de Matemática islâmica.[editar]

A matemática islâmica, durante a Era de Ouro do Islam, principalmente durante os séculos IX e X, foi baseada na matemática grega (Euclides, Arquimedes, etc) e também na matemática indiana (Aryabhata, Brahmagupta). Neste período, foi feito um importante progresso, como o desenvolvimento do sistema posicional decimal, que inclui a ideia de frações, o primeiro estudo sistematizado da álgebra e avanços na geometria e trigonometria.

Trabalhos árabes tiveram um papel importante na transmissão da matemática para a Europa durante os séculos X e XII.[57]

Ver também

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Referências

  1. ↑ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119)
  2. ↑ J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277–318.
  3. ↑ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. 9 2 ed. [S.l.]: Dover Publications. pp. 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919  Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
  4. ↑ Heath (1931). «A Manual of Greek Mathematics». Nature. 128 (3235): 5. Bibcode:1931Natur.128..739T. doi:10.1038/128739a0 
  5. ↑ Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  6. ↑ George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London, 1991, pp. 140–48
  7. ↑ Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp. 428–37
  8. ↑ Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
  9. ↑ "The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols (each symbol having a place value and an absolute value) emerged in India. The idea seems so simple nowadays that its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. the importance of this invention is more readily appreciated when one considers that it was beyond the two greatest men of Antiquity, Archimedes and Apollonius." – Pierre Simon Laplace http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html
  10. ↑ A.P. Juschkewitsch, "Geschichte der Mathematik im Mittelalter", Teubner, Leipzig, 1964
  11. ↑ a b (Boyer 1991, "Origins" p. 3)
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  13. ↑ Marshack, Alexander (1991): The Roots of Civilization, Colonial Hill, Mount Kisco, NY.
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  22. ↑ Langdon, S. (1918). 'Assyriological notes: Mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet'. Revue d'Assyriologie 15, 110–112.
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  32. ↑ Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, pps. 49—165
  33. ↑ Israel Kleiner, Excursions in the History of Mathematics, pps. 154—156
  34. ↑ Marek Šulista - Mathematics and Mathematicians
  35. ↑ ISHK's Human Journey project - Mathematics in the Human Journey
  36. ↑ Chris Weinkopf - Greek Mathematics
  37. ↑ Para Kepler e Newton, respectivamente, a astronomia e a mecânica eram tão "puras" quanto à geometria. Na época de Kepler, a astronomia era considerada um ramo da matemática (vide John L. Heilbron - Copernican Cosmology in Catholic Countries around 1700). Já Newton, considerava a geometria um ramo da mecânica (vide David E. Rowe - Euclidean Geometry and Physical Space).
  38. ↑ History of mathematics: Chinese overview
  39. ↑ Frank J. Swetz and T. I. Kao: Was Pythagoras Chinese?
  40. ↑ a b Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007, p. 1
  41. ↑ (Hayashi 2005, pp. 360–361)
  42. ↑ Ifrah 2000, p. 346: "The measure of the genius of Indian civilisation, to which we owe our modern (number) system, is all the greater in that it was the only one in all history to have achieved this triumph. Some cultures succeeded, earlier than the South Asian cultures, in discovering one or at best two of the characteristics of this intellectual feat. But none of them managed to bring together into a complete and coherent system the necessary and sufficient conditions for a number-system with the same potential as our own." - Tradução: “A medida do gênio da civilização indiana, à qual devemos o nosso sistema (numérico) moderno, é tanto maior na medida em que era o único em toda a história a ter conseguido esse triunfo. Algumas culturas conseguiram, mais cedo do que as culturas do sul da Ásia, a descoberta de um ou no máximo duas das características desta façanha intelectual. Mas nenhum deles conseguiu reunir, em um sistema completo e coerente, as condições necessárias e suficientes para um sistema de números com o mesmo potencial como o nosso.”
  43. ↑ Plofker 2009, pp. 44–47
  44. ↑ Bourbaki 1998, p. 46: "...our decimal system, which (by the agency of the Arabs) is derived from Hindu mathematics, where its use is attested already from the first centuries of our era. It must be noted moreover that the conception of zero as a number and not as a simple symbol of separation) and its introduction into calculations, also count amongst the original contribution of the Hindus." - Tradução: “... nosso sistema decimal, que (pela agência dos árabes) é derivado de matemática hindu, onde seu uso já era atestado desde os primeiros séculos da nossa era. Deve notar-se, além disso, que a concepção de zero como um número e não como um símbolo de separação simples) e a sua introdução em cálculos, também contam entre a contribuição original dos hindus.”
  45. ↑ Bourbaki 1998, p. 49: Modern arithmetic was known during medieval times as "Modus Indorum" or method of the Indians. Leonardo of Pisa wrote that compared to method of the Indians all other methods is a mistake. This method of the Indians is none other than our very simple arithmetic of addition, subtraction, multiplication and division. Rules for these four simple procedures was first written down by Brahmagupta during 7th century CE. "On this point, the Hindus are already conscious of the interpretation that negative numbers must have in certain cases (a debt in a commercial problem, for instance). In the following centuries, as there is a diffusion into the West (by intermediary of the Arabs) of the methods and results of Greek and Hindu mathematics, one becomes more used to the handling of these numbers, and one begins to have other "representation" for them which are geometric or dynamic." - Tradução: “Aritmética moderna foi conhecida durante a época medieval como "Modus Indorum" ou método dos indianos. Leonardo de Pisa escreveu que, em comparação com o método dos índianos todos os outros métodos eram um erro. Este método dos indianos não é outro senão a nossa aritmética muito simples de adição, subtração, multiplicação e divisão. Regras para estes quatro procedimentos simples foram escritas pela primeira vez por Brahmagupta durante século VII. "Neste ponto, os hindus já estavam conscientes da interpretação de que os números negativos devem existir, em certos casos (a dívida em um problema comercial, por exemplo). Nos séculos seguintes, como há uma difusão para o Oeste (por intermédio dos árabes) dos métodos e resultados da matemática grega e hindu, esse sistema torna-se mais utilizado para o tratamento destes números, e começa-se a ter outra "representação" para os que eram geométricos ou dinâmicos".
  46. ↑ a b "algebra" 2007. Britannica Concise Encyclopedia. Encyclopædia Britannica Online. 16 May 2007. Citação: "A full-fledged decimal, positional system certainly existed in India by the 9th century (CE), yet many of its central ideas had been transmitted well before that time to China and the Islamic world. Indian arithmetic, moreover, developed consistent and correct rules for operating with positive and negative numbers and for treating zero like any other number, even in problematic contexts such as division. Several hundred years passed before European mathematicians fully integrated such ideas into the developing discipline of algebra." - Tradução: “Um sistema de posicionamento decimal de pleno direito certamente existiu na Índia por volta do século IX, mas muitas de suas ideias centrais tinham sido transmitidas bem antes que o tempo para a China e o mundo islâmico. A aritmética indiana, além disso, desenvolveu regras consistentes e corretas para operar com números positivos e negativos e para o tratamento de zero como qualquer outro número, mesmo em contextos problemáticos, como divisão. Várias centenas de anos se passaram antes de matemáticos europeus totalmente integrarem tais ideias no desenvolvimento da disciplina da álgebra.”
  47. ↑ (Pingree 2003, p. 45) Citação: "Geometry, and its branch trigonometry, was the mathematics Indian astronomers used most frequently. Greek mathematicians used the full chord and never imagined the half chord that we use today. Half chord was first used by Aryabhata which made trigonometry much more simple. In fact, the Indian astronomers in the third or fourth century, using a pre-Ptolemaic Greek table of chords, produced tables of sines and versines, from which it was trivial to derive cosines. This new system of trigonometry, produced in India, was transmitted to the Arabs in the late eighth century and by them, in an expanded form, to the Latin West and the Byzantine East in the twelfth century." - Tradução: “A Geometria, e seu ramo trigonometria, era a matemática que astrônomos indianos utilizavam mais frequentemente. Matemáticos gregos usaram a corda cheia e nunca imaginaram a metade da corda que usamos hoje. A metade da corda foi usada pela primeira vez por Ariabata que produziu trigonometria muito mais simples. Na verdade, os astrônomos indianos no terceiro ou quarto século, utilizando uma tabela pré-grega ptolomaica de cordas, produziram tabelas de senos e versenos (arco senos), a partir da qual era trivial derivar cossenos. Este novo sistema de trigonometria, produzido na Índia, foi transmitida aos árabes no final do século VIII e por elas, em uma forma expandida, para o Ocidente Latino e no Oriente Bizantino no século XII.”
  48. ↑ (Bourbaki 1998, p. 126): "As for trigonometry, it is disdained by geometers and abandoned to surveyors and astronomers; it is these latter (Aristarchus, Hipparchus,Ptolemy) who establish the fundamental relations between the sides and angles of a right angled triangle (plane or spherical) and draw up the first tables (they consist of tables giving the chord of the arc cut out by an angle on a circle of radius r, in other words the number ; the introduction of the sine, more easily handled, is due to Hindu mathematicians of the Middle Ages)." - Tradução: “Quanto a trigonometria, é desprezada pelos geômetras e abandonada por agrimensores e astrônomos; são estes últimos (Aristarco, Hiparco, Ptolomeu) que estabelecem as relações fundamentais entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo (plano ou esférico) e elaboram as primeiras tabelas (eles consistem de quadros com a corda do arco cortado por um ângulo sobre um círculo de raio r, em outras palavras o número ; a introdução do seno, mais facilmente manipulado, é devido aos matemáticos hindus da Idade Média)."
  49. ↑ Filliozat 2004, pp. 140–143
  50. ↑ Hayashi 1995
  51. ↑ Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007, p. 6
  52. ↑ Stillwell 2004, p. 173
  53. ↑ Bressoud 2002, p. 12. Citação: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use." - Tradução: “Não há nenhuma evidência de que o trabalho indiano sobre séries foi conhecido além da Índia, ou mesmo fora Querala, até o século XIX. Gold e Pingree afirmam que até o momento estas séries foram redescobertas na Europa, que tinham, para todos os efeitos práticos, sido perdidas para a Índia. As expansões do seno, cosseno, tangente e arco tinham sido transmitidas através de várias gerações de discípulos, mas permaneceram observações estéreis para o qual ninguém poderia encontrar muito uso.”
  54. ↑ Plofker 2001, p. 293. Citação: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that “the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)” [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalised to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"
    Tradução: Não é incomum encontrar em discussões de matemática indiana tais afirmações como que "o conceito de diferenciação foi entendido [na Índia] no tempo de Manjula (... no século X)” [Joseph 1991, 300], ou que "podemos considerar Madhava ter sido o fundador da análise matemática" (Joseph 1991, 293), ou que Bhaskara II pode ser aclamado como "o precursor de Newton e Leibniz na descoberta do princípio do cálculo diferencial" (Bag 1979, 294). … Os pontos de semelhança, particularmente entre cálculo primordial europeu e o trabalho de Keralese em séries de potências, tem sugestões inspiradas mesmo de uma possível transmissão de ideias matemáticas da costa de Malabar em ou após o século XV para o mundo acadêmico Latino (e.g., em (Bag 1979, 285)). ... Deve-se ter em mente, contudo, que tal ênfase sobre a semelhança do sânscrito (ou malaiala) e matemática latina corre o risco de diminuir a nossa capacidade plena de ver e compreender o primeiro. Para falar da "descoberta do princípio do cálculo diferencial" indiana pouco obscurece o fato de que as técnicas indianas para expressar mudanças no seno por meio da cosseno ou vice-versa, como nos exemplos que temos visto, permaneceu dentro desse específico contexto trigonométrico. O "princípio" diferencial não foi generalizado para funções arbitrárias—na verdade, a noção explícita de uma função arbitrária, para não mencionar que de uma derivada sua ou um algoritmo para tomar a derivado, é irrelevante aqui."
  55. ↑ Pingree 1992, p. 562 Citação: "One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Matthew Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the Transactions of the Royal Asiatic Society, in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series without the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."
    Tradução: "Um exemplo que eu posso dar-lhe relaciona-se com a demonstração do indiano Mādhava, aproximadamente em 1400., da série de infinitas potências de funções trigonométricas usando argumentos geométricos e algébricos. Quando isso foi descrito pela primeira vez em Inglês por Charles Matthew Whish, nos anos 1830s, foi anunciado como a descoberta do cálculo dos indianos. Esta alegação e conquistas de Mādhava foram ignoradas pelos historiadores ocidentais, presumivelmente, em primeiro lugar porque não podiam admitir que um indiano descobriu o cálculo, mas mais tarde, porque ninguém mais leria as Transactions of the Royal Asiatic Society, na qual o artigo de Whish foi publicado. A questão ressurgiu na década de 1950, e agora temos os textos sânscritos devidamente editados, e entendemos a maneira inteligente que Mādhava derivou a série sem o cálculo; mas muitos historiadores ainda acham que é impossível conceber o problema e sua solução em termos de outra coisa senão o cálculo e proclamar que o cálculo é o que Mādhava encontrou. Neste caso, a elegância e o brilho da matemática de Mādhava estão sendo distorcidos como eles estão enterrados sob a solução matemática atual para um problema para o qual ele descobriu uma alternativa e uma solução poderosa."
  56. ↑ Katz 1995, pp. 173–174 Citação: "How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented the calculus. They were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."
    Tradução: "Quão perto estudiosos islâmicos e indianos estiveram de inventar o cálculo? Estudiosos islâmicos quase desenvolveram uma fórmula geral para a determinação de integrais de polinômios em 1000—e, evidentemente, poderiam encontrar uma fórmula para qualquer polinômio em que eles estavam interessados. Mas, ao que parece, eles não estavam interessados em qualquer polinômio de grau maior do que quatro, pelo menos, em qualquer parte do material que chegou até nós. Estudiosos indianos, por outro lado, eram em 1600 capazes de usar a fórmula da soma de ibne al-Haitam para potências arbitrárias integrais no cálculo de séries de potências para as funções em que estavam interessados. Ao mesmo tempo, eles também sabiam como calcular as diferenciais destas funções. Assim, algumas das ideias básicas de cálculo eram conhecidas no Egito e Índia muitos séculos antes de Newton. Não parece, no entanto, que os matemáticos islâmicos ou indianos viram a necessidade de ligar algumas das ideias díspares que incluímos sob o nome de cálculo. Eles estavam aparentemente interessados apenas em casos específicos nos quais essas ideias eram necessárias. Não há perigo, portanto, que tenhamos de reescrever os textos de história para remover a afirmação de que Newton e Leibniz tenham inventado o cálculo. Eles foram certamente os únicos que foram capazes de combinar muitas ideias diferentes ao abrigo dos dois temas unificadores da derivada e a integral, mostrando a conexão entre eles, e tornar o cálculo a grande ferramenta de resolução de problemas que temos hoje."
  57. ↑ Lumpkin, Beatrice; Zitler, Siham (1992). Cairo: Science Academy of the Middle Ages. [S.l.]: Transaction Publishers. p. 394 

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