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Conjunto

(Redirecionado de Subconjuntos)

Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos[1]. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.[2]

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro. [3]

Índice

ImportânciaEditar

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemáticaEditar

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por:

  1. extensão: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
  2. compreensão: definindo uma propriedade[4] de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
  3. representação gráfica: usando Diagramas de Venn.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um certo conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

 

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

 
Um certo conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.[2] O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:
 

ou ainda:

 

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciaisEditar

  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se   é um elemento do conjunto   podemos dizer que o elemento   pertence ao conjunto   e podemos escrever  . Se   não é um elemento de  , nós podemos dizer que o elemento   não pertence ao conjunto   e podemos escrever  


Subconjuntos próprios e imprópriosEditar

 
Diagrama de Venn para  
 Ver artigo principal: Subconjunto

Se   e   são conjuntos e todo o elemento   pertencente a   também pertence a  , então o conjunto   é dito um subconjunto do conjunto  , denotado por  . Note que esta definição inclui o caso em que   e   possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( , é equivalente a   e  ). Se   e ao menos um elemento pertencente a   não pertence a  , então   é chamado de subconjunto próprio de  , denotado por  . Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazioEditar

 Ver artigo principal: Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elemento. Ele é representado pelos símbolos   ou  . Nunca use para demonstrar um conjunto vazio esta representação  , pois ela indica que há um elemento dentro deste conjunto o que o torna um conjunto unitário. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por  ou  .

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais, uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

CardinalidadeEditar

 Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser   (aleph-0),  

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto   é denotada por  . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então  

Conjunto potência ou das partesEditar

 Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado   é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de   denotado por   O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é   ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a   Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto   é usual representar-se P(A) por  

O Teorema de Cantor estabelece que  

Produto cartesianoEditar

 Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

 

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

 

Operações com conjuntosEditar

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação Operador Definição Exemplo
União   A união (ou reunião) de dois conjuntos   e   é o conjunto   composto dos elementos que pertencem a um dos conjuntos   ou   ou a ambos. A união de N conjuntos   é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos  . A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por  .
 
 
Interseção   A interseção de dois conjuntos   e   é o conjunto   composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos   e  . A definição formal da interseção é  .
 
 
Complementar   ou   O complemento   (ou  ) de um conjunto   se refere aos elementos que não estão no conjunto  . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um conjunto universo  , isto é, o complemento de   em relação a  . É o mesmo que    . O conjunto   é formado pelos elementos de   que não pertencem a  , formalmente definida por  
 
 
Diferença   ou   A diferença   (ou    ) entre dois conjuntos   e   é o conjunto dos elementos que pertencem a   e que não pertencem a   A diferença entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por  .
 
 

Conjuntos compostos por númerosEditar

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo   usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
  2. Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  3. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo   usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
  4. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo   usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  5. Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  6. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo   ou   usualmente representa este conjunto.
  7. Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  8. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo   usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
  9. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo   ou   usualmente representa este conjunto.
  10. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários:   O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  11. Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas:   O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  12. Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  13. Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz   e   Os números complexos hiperbólicos são da forma   Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo   usualmente representa este conjunto.
  14. Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos   usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
  15. Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
  16. Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.

Referências

  1. «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» (PDF) (em alemão). Georg Cantor. doi:10.1007/bf02124929 
  2. a b LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 2. ISBN 9788524401183
  3. Conjuntos
  4. Menezes, Paulo Blauth (2008). Matemática Discreta para Computação e Informática 2ª ed. Porto Alegre: Bookman. p. 3, 38-39. ISBN 978-85-7780-269-2 


Ver tambémEditar