Operador adjunto

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Em matemática e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.[1]

O adjunto de um operador é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de (em homenagem a Charles Hermite) e é denotado por ou , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.[2]


[3]


Definição para os operadores limitados editar

Suponha que   é um espaço de Hilbert, com o produto interno  . Considere um operador linear contínuo   (isso é o mesmo que um operador linear limitado).


Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único   com a seguinte propriedade:

 

Esse operador   é o adjunto de  . Isso pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.


Propriedades editar

Propriedades imediatas:

  1.   (Involução )
  2. Se   é inversível, então assim é  , com  
  3.   (aditividade)
  4.  , onde   denota o conjugado do número complexo  
  5.  

Se definimos a norma operacional de   por

 

então

 .

Além disso,

 

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert   juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra  .

Componentes editar

Seja  um espaço vetorial finito sobre o corpo complexo e  dois vetores ortonormais contidos na base canônica desse espaço vetorial. Para qualquer dois vetores contidos nesse espaço na base canônica  teremos que

 .

Assim considere o operador  (  é endomórfico a  ), suas componentes são dadas por

 

mas note que

 

portanto

 

desse modo

 

portanto o adjunto de um operador representado matricialmente é igual à transposta da sua matriz com os conjugados complexos tomados.

Operador Hermitiano editar

 Ver artigo principal: Operador autoadjunto

Um operador   que atua num determinado espaço vetorial é dito hermitiano se satisfaz

 

Um exemplo de operador hermitiano é o operador momento, visto na mecânica quântica. Suas componentes na base do operador posição   são encontradas a partir da relação de completeza (estamos supondo que o espaço vetorial onde esses operadores atuam é completo)

 

pois as componentes do operador de derivação não são hermitianas (é anti-hermitiano)

 
o fator   torna o operador hermitiano:

 


Conjugado hermitiano de um operador constante editar

Temos um operador   , onde   e   são números reais, pela definição temos que o conjugado hermitiano

 

Substituimos   por   ,

 

temos que, o conjugado de um operador hermitiano constante é o seu conjugado complexo.[4]

Adjuntos de operador antilinear editar

Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear   em um espaço de Hilbert   é um operador antilinear   com a propriedade:

 

Outros adjuntos editar

Esta Equação

 

é formalmente semelhante à definição de propriedades de pares de functores adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.

Definição para os Operadores Ilimitados editar

Sejam   espaços de Banach . Um operador linear ilimitado é uma aplicação linear  , onde   é um subespaço de  , chamado domínio de  . Dizemos que o operador   é densamente definido quando  .

Dado um operador linear ilimitado   densamente definido, o seu Operador Adjunto é um operador linear ilimitado   que definiremos a seguir.

Primeiramente, definimos o domínio de   como sendo o conjunto formado pelos funcionais   tais que   são contínuos, em outras palavras

 

Note que, se  , então   tal que  

Agora, podemos definir   em  . De fato, dado  , como   é denso em  , existe uma única   que estende   [5]. Assim, definimos  . Em particular, temos a seguinte relação fundamental entre   e  :

 

Na notação par dualidade, escrevemos

 

Ver também editar

Referências

Bibliografia editar

  • Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3 
  • Kreyszig, Erwing (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.]: John Wiley & Sons 


 
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