Usuário:Juan90264/Pi

 Nota: Para outros significados de PI/Pi, veja PI.

 Nota: Para o estado brasileiro, veja Piauí.

Parte de uma série de artigos sobre:
a constante matemática π
3.1415926535897932384626433...
Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Tsu Ch'ung Chih Ariabata Madhava Alcaxi Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu William Jones John Machin William Shanks Srinivāsa Rāmānujan John Wrench Yasumasa Kanada
História
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Quadratura do círculo Problema de Basileia Seis noves em pi

Sendo um número irracional, π não pode ser expresso como uma fração comum, embora frações como 22/7 sejam comumente usadas para aproximar. Equivalentemente, sua representação decimal nunca termina e nunca se acomoda em um padrão de repetição permanente. Seus dígitos decimais (ou outra base) parecem ser distribuídos aleatoriamente e são conjectura d para satisfazer um tipo específico de aleatoriedade estatística .

Sabe-se que π é um número transcendental: não é a raiz de qualquer polinômio com racional coeficiente s. A transcendência de π implica que é impossível resolver o antigo desafio de quadratura do círculo com uma compasso e régua.

Civilizações antigas, incluindo egípcios e babilônios, exigiam aproximações razoavelmente precisas de π para cálculos práticos. Por volta de 250 aC, o matemático grego Arquimedes criou um algoritmo para aproximar π com precisão arbitrária. No século 5 DC, matemática chinesa aproximou π de sete dígitos, enquanto matemática indiana fez uma aproximação de cinco dígitos, ambos usando técnicas geométricas. A primeira fórmula exata para π, baseada em série infinita, foi descoberta um milênio depois, quando no século 14 a Série Madhava – Leibniz foi descoberto na matemática indiana.

A invenção do cálculo logo levou ao cálculo de centenas de dígitos de π, o suficiente para todos os cálculos científicos práticos. No entanto, nos séculos 20 e 21, matemáticos e cientistas da computação buscaram novas abordagens que, quando combinadas com o aumento do poder computacional, estenderam a representação decimal de π para muitos trilhões de dígitos. A principal motivação para esses cálculos é um caso de teste para desenvolver algoritmos eficientes para calcular séries numéricas, bem como para quebrar recordes. Os cálculos extensos envolvidos também foram usados ​​para testar supercomputador se multiplicação de alta precisão a lgoritmos.

Porque sua definição mais elementar se relaciona com o círculo, π é encontrado em muitas fórmulas em trigonometria e geometria, especialmente aquelas relativas a círculos, elipses e esferas. Em análise matemática mais moderna, o número é definido usando as propriedades espectrais do sistema número real, como um autovalor ou uma período, sem qualquer referência à geometria. Aparece, portanto, em áreas da matemática e ciências que têm pouco a ver com geometria de círculos, como teoria dos números e estatística, bem como em quase todas as áreas da física. A onipresença de π o torna uma das constantes matemáticas mais conhecidas - tanto dentro quanto fora da comunidade científica. Vários livros dedicados a π foram publicados, e cálculos recordes dos dígitos de π frequentemente resultam em manchetes de notícias. Os adeptos conseguiram memorizar o valor de π para mais de 70.000 dígitos.

Fundamentos

Nome

O símbolo usado pelos matemáticos para representar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é a minúscula letra grega π, às vezes soletrada como pi, e derivada do primeira letra da palavra grega perimetros, significando circunferência. Em inglês, π é pronunciada como "torta" ({ {IPAc-en | p | aɪ}} PY ). No uso matemático, a letra minúscula π se distingue de sua contraparte ampliada e maiúscula ∏, que denota um produto de uma sequência , análogo a como ∑ denota soma.

A escolha do símbolo π é discutida na seção Adoção do símbolo π .

Definição

A circunferência de um círculo é um pouco mais de três vezes como desde que seu diâmetro. A proporção exata é chamada de π π é comumente definido como a proporção de circunferência de um círculo C para seu diâmetro d :

$\ pi=\ frac{C}{d}.$

A proporção C / d é constante, independentemente do tamanho do círculo. Por exemplo, se um círculo tem o dobro do diâmetro de outro círculo, ele também terá o dobro da circunferência, preservando a proporção C / d . Esta definição de π implicitamente faz uso de geometria plana (euclidiana); embora a noção de um círculo possa ser estendida a qualquer geometria de curva (não euclidiana), esses novos círculos não irão mais satisfazer a fórmula π = } C / d .

Aqui, a circunferência de um círculo é o comprimento do arco ao redor do perímetro do círculo, uma quantidade que pode ser definida formalmente independentemente da geometria usando limites - um conceito em cálculo . Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior do círculo unitário, dado em coordenadas cartesianas pela equação x ^{2 < / sup> + y 2 = 1}, como o integral:

$\ pi=\ int_{-1}^{1}\ frac{dx}{\ sqrt{1-x^{2}}}.$

Uma integral como essa foi adotada como a definição de π por Karl Weierstrass, que a definiu diretamente como uma integral em 1841.

Integração não é mais comumente usada em uma primeira definição analítica porque, como Remmert 2012 explica, cálculo diferencial normalmente precede o cálculo integral no currículo universitário, então é desejável ter uma definição de { {pi}} que não depende do último. Uma dessas definições, devido a Richard Baltzer e popularizado por Edmund Landau, é o seguinte: π é duas vezes o menor número positivo no qual a função cosseno é igual a 0. O cosseno pode ser definido independentemente da geometria como uma série de potências, ou como a solução de uma equação diferencial.

Em um espírito semelhante, π pode ser definido usando propriedades do exponencial complexo, exp z , de uma variável complexo

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. Como o cosseno, o exponencial complexo pode ser definido de várias maneiras. O conjunto de números complexos em que exp z é igual a um é então uma progressão aritmética (imaginária) da forma:

Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle \ {\ dots, -2 \ pi i, 0, 2 \ pi i, 4 \ pi i, \ dots \} = \ {2 \ pi ki \ mid k\ in \ mathbb Z \} }

e há um número real positivo único π com esta propriedade.

Uma variação mais abstrata da mesma ideia, fazendo uso de conceitos matemáticos sofisticados de topologia e álgebra, é o seguinte teorema: há uma única (até automorfismo) contínuo isomorfismo do grupo 'R' / 'Z' de números reais sob adição de módulo inteiros (o grupo do círculo), no grupo multiplicativo de números complexos de valor absoluto um. O número π é então definido como a metade da magnitude da derivada deste homomorfismo.

Irracionalidade e normalidade

π é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como a proporção de dois inteiros.Frações como 22 7 e 355 113 são comumente usados ​​para aproximar π, mas não fração comum (proporção de números inteiros) pode ser seu valor exato. Como π é irracional, ele tem um número infinito de dígitos em sua representação decimal, e não se acomoda em um infinito padrão de repetição de dígitos. Existem várias provas de que π é irracional; eles geralmente requerem cálculo e contam com a técnica reductio ad absurdum . O grau em que π pode ser aproximado por número s (chamado de medida de irracionalidade) não é conhecido com precisão; estimativas estabeleceram que a medida de irracionalidade é maior do que a medida de e ou ln 2, mas menor do que a medida de número de Liouville s.

Os dígitos de π não têm padrão aparente e passaram nos testes de aleatoriedade estatística, incluindo testes de normalidade; um número de comprimento infinito é chamado de normal quando todas as sequências possíveis de dígitos (de qualquer comprimento) aparecem com igual frequência.A conjectura de que π é normal não foi provado ou refutado.

Desde o advento dos computadores, um grande número de dígitos de π estão disponíveis para realizar análises estatísticas. Yasumasa Kanada realizou análises estatísticas detalhadas nos dígitos decimais de π e os considerou consistentes com a normalidade; por exemplo, as frequências dos dez dígitos de 0 a 9 foram submetidas a teste de significância estatística s, e nenhuma evidência de um padrão foi encontrada. Qualquer sequência aleatória de dígitos contém subsequências arbitrariamente longas que parecem não aleatórias, pelo teorema do macaco infinito. Assim, como a sequência de dígitos de π passa nos testes estatísticos de aleatoriedade, ela contém algumas sequências de dígitos que podem parecer não aleatórios, como uma sequência de seis 9s consecutivos que começa na 762ª casa decimal da representação decimal de π. Isso também é chamado de "ponto de Feynman" em folclore matemático, depois de Richard Feynman, embora nenhuma conexão com Feynman seja conhecida.

Transcendência

Ver também

Ficheiro:Quadrado do círculo.svg

Como π é um número transcendental, quadratura do círculo não é possível em um número finito de etapas usando as ferramentas clássicas de compasso e régua.

Além de ser irracional, π também é um número transcendental,que significans que não é a solução de qualquer equação polinomial não constante com racional coeficientes, como (século III, aproximadamente 3.1556). Por volta de 265 DC, o Reino de Wei matemático Liu Hui criou um algoritmo iterativo baseado em polígono e o usou com um polígono de 3.072 lados para obter um valor de π de & nbsp; 3,1416. Liu posteriormente inventou um método mais rápido de cálculo π e obteve um valor de 3,14 com um polígono de 96 lados, aproveitando o fato de que as diferenças de área dos polígonos sucessivos formam uma série geométrica com fator de & nbsp; 4.O matemático chinês Zu Chongzhi, por volta de 480 DC, calculou que 3,1415926 <π <3,1415927 e sugeriu as aproximações π ≈ 355 113 = 3,14159292035 ... e π ≈ 22 7 = 3,142857142857 ..., que ele chamou de Milü ( '' relação de fechamento ") e Yuelü (" proporção aproximada "), respectivamente, usando algoritmo de Liu Hui aplicado a um lado 12.288 polígono. Com um valor correto para seus sete primeiros dígitos decimais, este valor de permaneceu a aproximação mais precisa de π disponível para os próximos 800 anos.

O astrônomo indiano Aryabhata usou um valor de 3,1416 em seu Āryabhaṭīya (499 DC). Fibonacci em c. & nbsp; 1220 calculou 3,1418 usando um método poligonal, independente de Arquimedes. O autor italiano Dante aparentemente empregou o valor 3 + √ 2 10 ≈ 3,14142.

O astrônomo persa Jamshīd al-Kāshī produziu 9 sexagesimal dígitos, aproximadamente o equivalente a 16 dígitos decimais, em 1424 usando um polígono com 3 × 2 ²⁸ lados, que permaneceu como o recorde mundial por cerca de 180 anos. Matemático francês F rançois Viète em 1579 alcançou 9 dígitos com um polígono de 3 × 2 ¹⁷ lados. Matemático flamengo Adriaan van Roomen chegou a 15 casas decimais em 1593. Em 1596, o matemático holandês Ludolph van Ceulen atingiu 20 dígitos, um recorde que ele posteriormente aumentou para 35 dígitos (como um resultado, π era chamado de "número ludolphiano" na Alemanha até o início do século 20). O cientista holandês Willebrord Snellius atingiu 34 dígitos em 1621, e o astrônomo austríaco Christoph Grienberger chegaram a 38 dígitos em 1630 usando 10 ⁴⁰ lados, que permanece a aproximação mais precisa alcançada manualmente usando algoritmos poligonais.

Série infinita

Predefinição:Compare pi infinite series.svg O cálculo de π foi revolucionado pelo desenvolvimento de técnicas de série infinita nos séculos 16 e 17. Uma série infinita é a soma dos termos de uma infinita sequência. As séries são apresentadas sem prova, mas as provas são apresentadas em um w indiano posterior ork, Yuktibhāṣā , por volta de 1530 DC. Nilakantha atribui a série a um matemático indiano anterior, Madhava de Sangamagrama, que viveu c. & Nbsp; 1350 & nbsp; - c. & Nbsp; 1425. Várias séries infinitas são descritas, incluindo séries para seno, tangente e cosseno, que agora são chamados de série de Madhava ou série de Gregory-Leibniz.Madhava usou séries infinitas para estimar π para 11 dígitos por volta de 1400, mas esse valor foi melhorado por volta de 1430 pelo matemático persa Jamshīd al-Kāshī, usando um algoritmo poligonal. }

Isaac Newton usei série infinita para calcular π até 15 dígitos, escrevendo mais tarde "Tenho vergonha de dizer a você para quantos números carreguei esses cálculos".

A primeira sequência infinita descoberta na Europa foi um produto infinito (em vez de uma soma infinita, que é mais comumente usada em cálculos de π) encontrada pelo matemático francês François Viète em 1593:

$\ frac2\ pi=\ frac{\ sqrt2}2\ cdot\ frac{\ sqrt{2+\ sqrt2}}2\ cdot\ frac{\ sqrt{2+\ sqrt{2+\ sqrt2}}}2\ cdots$

O segunda sequência infinita encontrada na Europa, por John Wallis em 1655, também era um produto infinito:

$\ frac{\ pi}{2}=\ Big(\ frac{2}{1}\ cdot\ frac{2}{3}\ Big)\ cdot\ Big(\ frac{4}{3}\ cdot\ frac{4}{5}\ Big)\ cdot\ Big(\ frac{6}{5}\ cdot\ frac{6}{7}\ Big)\ cdot\ Big(\ frac{8}{7}\ cdot\ frac{8}{9}\ Big)\ cdots$

A descoberta de cálculo, pelo cientista inglês Isaac Newton e o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz na década de 1660, levou ao desenvolvimento de muitas séries infinitas para aproximar π. O próprio Newton usou uma série de arcsin para calcular uma aproximação de 15 dígitos de π em 1665 ou 1666, escrevendo mais tarde "Tenho vergonha de dizer a quantos números carreguei esses cálculos, não tendo nenhum outro assunto na época."

Na Europa, a fórmula de Madhava foi redescoberta pelo matemático escocês James Gregory em 1671 e por Leibniz em 1674:

$\ arctanz=z-\ frac{z^{3}}{3}+\ frac{z^{5}}{5}-\ frac{z^{7}}{7}+\ cdots$

Esta fórmula, a série Gregory-Leibniz, é igual a π / 4 quando avaliada com z & nbsp; = & nbsp; 1. Em 1699, o matemático inglês Abraham Sharp usou a série Gregory – Leibniz para ${\textstyle z=\ frac{1}{\ sqrt{3}}}$ para calcular π para 71 dígitos, quebrando o recorde anterior de 39 dígitos, que foi definido com um algoritmo poligonal. O Gregory – Leibniz para a série $z=1$ é simples, mas converge muito lentamente (isto é, aproxima-se da resposta gradualmente), então não é usado em cálculos modernos de π.

Em 1706 John Machin usou a série Gregory – Leibniz para produzir um algoritmo que convergiu muito mais rápido:

$\ frac{\ pi}{4}=4\ arctan\ frac{1}{5}-\ arctan\ frac{1}{239}.$

Machin atingiu 100 dígitos de π com esta fórmula. Outros matemáticos criaram variantes, agora conhecidas como fórmula semelhante a Machin e, que foram usados ​​para definir vários registros sucessivos para calcular dígitos de π.Fórmulas semelhantes a Machin permaneceram o método mais conhecido de cálculo π bem na era dos computadores e foram usados ​​para estabelecer recordes por 250 anos, culminando em uma aproximação de 620 dígitos em 1946 por Daniel Ferguson & nbsp; - a melhor aproximação alcançada sem o auxílio de um dispositivo de cálculo.

Um recorde foi estabelecido pelo calculista prodígio Zacharias Dase, que em 1844 empregou uma fórmula semelhante à de Machin para calcular 200 decimais de π em sua cabeça a mando do matemático alemão Carl Friedrich Gauss .matemático britânico William Shanks notoriamente levou 15 anos para calcular π para 707 dígitos, mas cometeu um erro no 528º dígito, tornando todos os dígitos subsequentes incorretos.

Taxa de convergência

Algumas séries infinitas para π convergem mais rápido do que outras. Dada a escolha de duas séries infinitas para π, os matemáticos geralmente usam aquela que converge mais rapidamente porque a convergência mais rápida reduz a quantidade de computação necessária para calcular π para qualquer precisão dada. Uma série infinita simples para π é o Gregory – Leibniz:

$\ pi=\ frac{4}{1}-\ frac{4}{3}+\ frac{4}{5}-\ frac{4}{7}+\ frac{4}{9}-\ frac{4}{11}+\ frac{4}{13}-\ cdots$

À medida que os termos individuais dessa série infinita são adicionados à soma, o total se aproxima gradualmente de π e & nbsp; - com um número suficiente de termos & nbsp; - pode chegar o mais próximo de π conforme desejado. Converte muito lentamente, embora & nbsp; - depois de 500.000 termos, produz apenas cinco dígitos decimais corretos de π.

Uma série infinita para π (publicada por Nilakantha no século 15) que converge mais rapidamente do que a série Gregory – Leibniz é: Observe que ( n & nbsp; - & nbsp; 1) n ( n & nbsp; + & nbsp; 1) = n ^{3 </ sup > & nbsp; - & nbsp; n .}

$\ pi=3+\ frac{4}{2\ times3\ times4}-\ frac{4}{4\ times5\ times6}+\ frac{4}{6\ times7\ times8}-\ frac{4}{8\ times9\ times10}+\ cdots$

A tabela a seguir compara as taxas de convergência dessas duas séries:

-	Série infinita para π	Após o primeiro semestre	Após o 2º semestre	Após o 3º período	Após o 4º período	Após o 5º período	Converge para:	-	$\ pi=\ frac{4}{1}-\ frac{4}{3}+\ frac{4}{5}-\ frac{4}{7}+\ frac{4}{9}-\ frac{4}{11}+\ frac{4}{13}+\ cdots$	4,0000	2,6666 ...	3,4666 ...	2,8952 ...	3,3396 ...	π = 3,1415 ...	-	$\ pi={3}+\ frac{4}{2\ times3\ times4}-\ frac{4}{4\ times5\ times6}+\ frac{4}{6\ times7\ times8}+\ cdots$	3,0000	3,1666 ...	3,1333 ...	3,1452 ...	3,1396 ...

Após cinco termos, a soma da série Gregory – Leibniz está dentro de 0,2 do valor correto de π, enquanto a soma da série de Nilakantha está dentro de 0,002 do valor correto de π. A série de Nilakantha converge mais rápido e é mais útil para computar dígitos de π. As séries que convergem ainda mais rapidamente incluem série de Machin e série de Chudnovsky, o último produzindo 14 dígitos decimais corretos por termo.

Irracionalidade e transcendência

Ver também Nem todos os avanços matemáticos relacionados a π visavam aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o problema de Basel em 1735, encontrando o valor exato da soma dos quadrados recíprocos, ele estabeleceu uma conexão entre π e os número primo s que mais tarde contribuíram para o desenvolvimento e estudo da função zeta de Riemann:

$\ frac{\ pi^{2}}{6}=\ frac{1}{1^{2}}+\ frac{1}{2^{2}}+\ frac{1}{3^{2}}+\ frac{1}{4^{2}}+\ cdots$

O cientista suíço Johann Heinrich Lambert em 1761 provou que π é irracional, o que significa que não é igual ao quociente de dois números inteiros quaisquer. prova de Lambert explorou uma representação de fração contínua da função tangente. matemático francês Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que π ^{2 < / sup> também é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendental, confirmando uma conjectura feita por Legendre e Euler. Hardy e Wright afirmam que "as provas foram posteriormente modificadas e simplificadas por Hilbert, Hurwitz e outros escritores".}

Adoção do símbolo π

O uso mais antigo conhecido da letra grega 'π' para representar a proporção da circunferência de um círculo em relação ao seu diâmetro foi feito por um matemático galês William Jones em 1706[84] Nos primeiros usos, a letra grega π era uma abreviatura da palavra grega para periferia () , e foi combinada em proporções com δ (para diâmetro) ou ρ (para raio) para formar um círculo constantes. (Antes disso, os matemáticos às vezes usavam letras como ' 'c' 'ou' 'p' 'em vez disso. ) O primeiro uso registrado é Oughtred's "$\ delta.\ pi$ ", para expressar a proporção da periferia e do diâmetro em 1647 e edições posteriores de Clavé Mathematicae . Barrow também usou "${\textstyle \ frac\ pi\ delta}$ "para representar a constante 3,14 ..., enquanto Gregory em vez disso usou "Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\textstyle \ frac \ pi \ rho </ math > "para representar 6,28 ... & nbsp ;.<ref>{{Citar jornal |último = Gregorii |primeiro = Davidis |data= 1695 |título= Davidis Gregorii MD Astronomiae Professoris Sauiliani & SRS Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae | jstor = 102382 |periódico= Philosophical Transactions |língua= la | volume = 19 |páginas= 637–652 | doi = 10.1098 / rstl.1695.0114 | bibcode = 1695RSPT ... 19..637G }} </ref><ref name = ": 1" /> O mais antigo uso conhecido da letra grega {{pi}} sozinha para representar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro foi pelo matemático galês [[William Jones (matemático) | William Jones]] em seu trabalho de 1706 '' {{lang | la | Sinopse Palmariorum Matheseos | italic = unset}}; ou, uma nova introdução à matemática ''.<ref>{{citar livro| url = https: //archive.org/stream/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/Synopsis_Palmariorum_Matheseos#page/n261/mode/1up |título= Synopsis Palmariorum , uma nova introdução à matemática |último = Jones |primeiro = William |ano= 1706 |páginas= 243, 263 |língua= en |acessodata= 15 de outubro de 2017 |arquivourl= https: //archive.org/ details / SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics / page / n283 / mode / 1up |arquivodata= 25 de março de 2012 |urlmorta= não}} </ref> {{sfn | Arndt | Haenel | 2006 | p = 165 | ps =: um fac-símile do texto de Jones está em {{harvnb | Berggren | Borwein | Borwein | 1997 | pp = 108–109}}.}} A letra grega aparece pela primeira vez lá na frase "1/2 Periferia {{pi}}" na discussão de um círculo com raio um.<ref>Veja {{harvnb | Schepler | 1950 | p = 220}}: [[William Oughtred]] usou a letra {{pi}} para representar a periferia (isto é, a circunferência) de um círculo. </ref> No entanto, ele escreve que suas equações para r {{pi}} são da "caneta pronta do verdadeiramente engenhoso Sr. [[John Machin]]", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a letra grega antes de Jones. {{sfn | Arndt | Haenel | 2006 | p = 166}} A notação de Jones não foi imediatamente adotada por outros matemáticos, com a notação de fração ainda sendo usada até 1767.<ref name = ": 0" /><ref>{{citar livro| url = https: //books.google.com/books?id=NmYVAAAAQAAJ&pg=PA282 |título= Cursus Mathematicus |último = Segner |primeiro = Joannes Andreas |data= 1756 |publicado= Halae Magdeburgicae |página= 282 |língua= la | data de acesso = 15 de outubro de 2017 |arquivourl= https: //web.archive.org/web/20171015150340/https: //books.google.co.uk/books? Id = NmYVAAAAQAAJ & pg = PA282 |arquivodata= 15 de outubro de 2017 |urlmorta= não}} </ref> [[Euler]] começou a usar a forma de uma única letra começando com seu 1727 '' Ensaio explicando as propriedades do ar '', embora tenha usado {{nowrap | 1 = {{pi}} = 6,28 ...}}, o razão do raio para a periferia, neste e em alguns escritos posteriores.<ref>{{citar periódico|último = Euler |primeiro = Leonhard |data= 1727 |título= Tentamen explicationis phaenomenorum aeris | url = http: //eulerarchive.maa. org / docs / originals / E007.pdf # page = 5 |periódico= Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana | idioma = la | volume = 2 |página= 351 | id = [http://eulerarchive.maa.org/pages/E007 .html E007] |citação= Sumatur pro ratione radii ad periférico, I: π |acessodata= 15 de outubro de 2017 |arquivourl= https: //web.archive.org/web/20160401072718/http: // eulerarchive. maa.org/docs/originals/E007.pdf#page=5|arquivodata=1 abril de 2016 |urlmorta= não}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e007tr.pdf# page = 3 tradução em inglês por Ian Bruce] {{Webarchive | url = https: //web.archive.org/web/20160610172054/http: //www.17centurymaths.com/contents/euler/e 007tr.pdf # page = 3 |data= 10 de junho de 2016}}: "π é considerado a razão do raio para a periferia [note que neste trabalho, o π de Euler é o dobro do nosso π.]" </ref><ref> {{citar livro| url = https: //books.google.com/books? id = 3C1iHFBXVEcC & pg = PA139 |título= Lettres inédites d'Euler à d'Alembert |último = Euler |primeiro = Leonhard |obra= Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche |ano= 1747 |editor-sobrenome = Henry |editor-nome = Charles | volume = 19 | data de publicação = 1886 |página= 139 |língua= fr | id = [http://eulerarchive.maa.org/pages/E858 .html E858] |citação= Car, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est = 1}} Tradução em inglês em {{citar periódico|último = Cajori |primeiro = Florian |data= 1913 |título= History of the Exponential and Logarithmic Concepts | jstor = 2973441 |periódico= The American Mathematical Monthly | volume = 20 |número= 3 |páginas= 75–84 | doi = 10.2307 / 2973441 |citação= Que π seja a circunferência (!) de um círculo de raio de unidade}} </ref> Euler usou pela primeira vez {{nowrap | 1 = {{pi}} = 3,14 ...}} em sua obra de 1736 '' [[Mechanica]] '',<ref>{{citar livro|último = Euler |primeiro = Leonhard |título= Mechanica sive motus scientia analytice exposita. (cum tabulis) |data= 1736 |publicado= Academiae scientiarum Petropoli | volume = 1 |página= 113 | idioma = la | capítulo = Ch. 3 Prop. 34 Cor. 1 | id = [http://eulerarchive.maa.org/pages/E015.html E015] |citação= Denotet 1: {{pi}} rationem diametri ad periferia | capítulo-url = https: //books.google. com / books? id = jgdTAAAAcAAJ & pg = PA113}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26 Tradução em inglês por Ian Bruce] {{Webarchive | url = https: / /web.archive.org/web/20160610183753/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26|data=10 de junho de 2016}}: "Seja 1: π denote o razão do diâmetro para a circunferência "</ref> e continuou em sua obra amplamente lida de 1748 {{lang | la | [[Introductio in analysin infinitorum]] | italic = yes}} (ele escreveu:" por causa de brevidade, escreveremos este número como {{pi}}; portanto, {{pi}} é igual à metade da circunferência de um círculo de raio 1 ").<ref>{{Cite o livro | url = http: // gallica. bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587/f155 | title = Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio | last = Euler | first = Leonhard (1707–1783) | date = 1922 | publisher = B.G. Teubneri | location = Lipsae | pages = 133–134 | language = la | id = [http://eulerarchive.maa.org/pages/E101.html E101] | access-date = 15 de outubro de 2017 | archive-url = https : //web.archive.org/web/20171016022758/http: //gallica.bnf.fr/ark: / 12148 / bpt6k69587 / f155 | archive-date = 16 de outubro de 2017 | url-status = live}} </ ref > Como Euler se correspondia fortemente com outros matemáticos na Europa, o uso da letra grega se espalhou rapidamente e a prática foi universalmente adotada depois disso no [[mundo ocidental]], {{sfn | Arndt | Haenel | 2006 | p = 166}} } embora a definição ainda variasse entre 3,14 ... e 6,28 ... até 1761.<ref>{{citar livro| url = https: //books.google.com/books? id = P-hEAAAAcAAJ & pg = PA374 |título= Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm |último = Segner |primeiro = Johann Andreas von |data= 1761 |publicado= Renger |página= 374 |língua= la |citação= Si autem π ​​notet periferiam circuli, diâmetro de cuius eſt 2}} </ref> == Busca moderna para mais dígitos == === Era do computador e algoritmos iterativos === [[Imagem:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif | thumb | upright | alt = Foto formal de um homem calvo vestindo um terno | [[John von Neumann]] fez parte da equipe que primeiro usou um computador digital, [[ENIAC]] , para calcular {{pi}}.]] {{caixa de cotação | cotação = O [[algoritmo de Gauss – Legendre | Algoritmo iterativo de Gauss – Legendre]]:<br /> Inicializar : <math> \ scriptstyle a_0 = 1, \ quad b_0 = \ frac {1} {\ sqrt 2}, \ quad t_0 = \ frac {1} {4}, \ quad p_0 = 1. } Iterar

$\ scriptstylea_{n+1}=\ frac{a_{n}+b_{n}}{2},\ quad\ quadb_{n+1}=\ sqrt{a_{n}b_{n}},$

$\ scriptstylet_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\ quad\ quadp_{n+1}=2p_{n}.$

Então, uma estimativa para π é dada por

$\ scriptstyle\ pi\ approx\ frac{(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}.$

| fontsize = 90% | qalign = left}}

O desenvolvimento de computadores em meados do século 20 revolucionou novamente a busca pelos dígitos de π. Os matemáticos John Wrench e Levi Smith alcançaram 1.120 dígitos em 1949 usando uma calculadora de mesa. Usando uma série infinita tangente inversa (arctan), um equipe liderada por George Reitwiesner e John von Neumann naquele mesmo ano atingiu 2.037 dígitos com um cálculo que consumiu 70 horas de tempo de computador no computador ENIAC. O recorde, sempre contando com uma série arctan, foi quebrado repetidamente (7.480 dígitos em 1957; 10.000 dígitos em 1958; 100.000 dígitos em 1961) até que 1 milhão de dígitos foi alcançado em 1973.

Dois desenvolvimentos adicionais por volta de 1980 mais uma vez aceleraram a capacidade de calcular π. Primeiro, a descoberta de novos algoritmo iterativo s para calcular π, que eram muito mais rápidos do que a série infinita; e segundo, a invenção de algoritmos de multiplicação rápida que podem multiplicar grandes números muito rapidamente. Esses algoritmos são particularmente importantes em cálculos modernos de π porque a maior parte do co tempo do computador é dedicado à multiplicação. Eles incluem o algoritmo de Karatsuba, multiplicação de Toom-Cook e Métodos baseados na transformada de Fourier.

Os algoritmos iterativos foram publicados independentemente em 1975–1976 pelo físico Eugene Salamin e pelo cientista Richard Brent. Isso evita a dependência de séries infinitas. Um algoritmo iterativo repete um cálculo específico, cada iteração usando as saídas das etapas anteriores como suas entradas e produz um resultado em cada etapa que converge para o valor desejado. A abordagem foi inventada mais de 160 anos antes por Carl Friedrich Gauss, no que agora é denominado método da média aritmética-geométrica (método AGM) ou algoritmo Gauss-Legendre. Conforme modificado por Salamin e Brent, também é referido como algoritmo de Brent-Salamin.

Os algoritmos iterativos foram amplamente usados ​​após 1980 porque são mais rápidos do que os algoritmos de série infinita: enquanto as séries infinitas normalmente aumentam o número de dígitos corretos aditivamente em termos sucessivos, os algoritmos iterativos geralmente multiplicam o número de dígitos corretos em cada etapa. Por exemplo, o algoritmo Brent-Salamin dobra o número de dígitos em cada iteração. Em 1984, os irmãos John e Peter Borwein produziram um algoritmo iterativo que quadruplica o número de dígitos em cada etapa; e em 1987, aquele que aumenta o número de dígitos cinco vezes em cada etapa. Métodos iterativos foram usados ​​pelo matemático japonês Yasumasa Kanada para definir vários registros para computação π entre 1995 e 2002.Esta rápida convergência tem um preço: os algoritmos iterativos requerem significativamente mais memória do que séries infinitas.

Motivos para computação π

Ficheiro:Gravar pi aproximations.svg

Conforme os matemáticos descobriram novos algoritmos e os computadores se tornaram disponíveis, o número de dígitos decimais conhecidos de π aumentou dramaticamente. A escala vertical é logarítmica.

Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo π, um punhado de dígitos fornece precisão suficiente. De acordo com Jörg Arndt e Christoph Haenel, trinta e nove dígitos são suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, porque essa é a precisão necessária para calcular a circunferência do universo observável com a precisão de um átomo. Levando em conta os dígitos adicionais necessários para compensar os erros de arredondamento computacionais, Arndt conclui que algumas centenas de dígitos seriam suficientes para qualquer aplicação científica. Apesar disso, as pessoas trabalharam arduamente para computar π até milhares e milhões de dígitos. Esse esforço pode ser parcialmente atribuída à compulsão humana de quebrar recordes, e tais conquistas com π muitas vezes chegam às manchetes em todo o mundo. Eles também têm benefícios práticos, como testar supercomputador s, testar algoritmos de análise numérica (incluindo algoritmos de multiplicação de alta precisão); e dentro da própria matemática pura, fornecendo dados para avaliar a aleatoriedade dos dígitos de π.

Série rapidamente convergente

Srinivasa Ramanujan, trabalhando isoladamente na Índia, produziu muitas séries inovadoras para computação π.

As calculadoras π modernas não usam algoritmos iterativos exclusivamente. Novas séries infinitas foram descobertas nas décadas de 1980 e 1990 que são tão rápidas quanto algoritmos iterativos, mas são mais simples e menos intensivos em memória. Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano Srinivasa Ramanujan publicou dezenas de fórmulas inovadoras para π, notáveis ​​por sua elegância, profundidade matemática e convergência rápida. Bill Gosper foi o primeiro a usá-la para avanços no cálculo de π, estabelecendo um recorde de 17 milhões de dígitos em 1985. As fórmulas de Ramanujan anteciparam o moderno algoritmos desenvolvidos pelos irmãos Borwein e os irmãos Chudnovsky. O fórmula de Chudnovsky desenvolvido em 1987 é

$\ frac{1}{\ pi}=\ frac{12}{640320^{3/2}}\ sum_{k=0}^{\ }infty\ frac{(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(K!)^{3}(-640320)^{3k}}.$

Ele produz cerca de 14 dígitos de π por termo, e tem sido usado para vários recordes π cálculos, incluindo o primeiro a ultrapassar 1 bilhão (10 ⁹ ) de dígitos em 1989 pelos irmãos Chudnovsky, 10 trilhões (10 ¹³ ) de dígitos em 2011 por Alexander Yee e Shigeru Kondo , mais de 22 trilhões de dígitos em 2016 por Peter Trueb e 50 trilhões de dígitos por Timothy Mullican em 2020. Para fórmulas semelhantes, consulte também a série Ramanujan – Sato.

Em 2006, o matemático Simon Plouffe usou o PSLQ algoritmo de relação inteira para gerar várias novas fórmulas para π, em conformidade com o seguinte modelo:

$\ pi^{k}=\ sum_{n=1}^{\ }infty\ frac{1}{n^{k}}\ left(\ frac{a}{q^{n}-1}+\ frac{b}{q^{2n}-1}+\ frac{c}{q^{4n}-1}\ right),$

onde q é e ^{& pi;} (constante de Gelfond), { {math | k }} é um número ímpar, e a , b , c são certos números racionais que Plouffe calculou .

Métodos de Monte Carlo

Agulhas de comprimento ℓ espalhadas em listras com largura t

agulha de Buffon. As agulhas a e b são descartadas aleatoriamente.

Pontos aleatórios são colocados no quadrante de um quadrado com um círculo inscrito nele.

método de Monte Carlo s, com base em testes aleatórios, pode ser usado para aproximar π.

Métodos de Monte Carlo, que avaliam os resultados de vários testes aleatórios, podem ser usados ​​para criar aproximações de π.

$\ pi\ approx\ frac{2n\ ell}{xt}.$

Outro método de Monte Carlo para calcular π é desenhar um círculo inscrito em um quadrado e colocar pontos aleatoriamente no quadrado. A proporção dos pontos dentro do círculo em relação ao número total de pontos será aproximadamente igual a π / 4.

Cinco caminhadas aleatórias com 200 passos. A média da amostra de | W 200 | é μ = 56/5, e assim 2 (200) μ −2 ≈ 3,19 está dentro de 0,05 de π

Cinco caminhadas aleatórias com 200 passos. A média da amostra de | W ₂₀₀ | é μ = 56/5, e assim 2 (200) μ ⁻² ≈ 3,19 está dentro de 0,05 de π

Outra maneira de calcular π usando probabilidade é começar com um passeio aleatório, gerado por uma sequência de lançamentos de moeda (justa): independente variável aleatória s

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de modo que X _k ∈ { −1,1} com probabilidades iguais. O passeio aleatório associado é

$W_{n}=\ sum_{k=1}^{n}X_{k}$

de modo que, para cada n, W _n é extraído de uma distribuição binomial deslocada e escalonada. Conforme n varia, W _n define um processo estocástico (discreto). Então π pode ser calculado por

$\ pi=\ lim_{n\ to\ infty}\ frac{2n}{E[|W_{n}|]^{2}}.$

Este método de Monte Carlo é independente de qualquer relação com os círculos e é uma consequência do teorema do limite central, discutido abaixo.

Esses métodos de Monte Carlo para aproximar π são muito lentos em comparação com outros métodos e não fornecem nenhuma informação sobre o número exato de dígitos obtidos. Assim, eles nunca são usados ​​para aproximar π quando a velocidade ou a precisão são desejadas.

Algoritmos Spigot

Dois algoritmos foram descobertos em 1995 que abriram novos caminhos de pesquisa em π. Eles são chamados de algoritmo da torneira s porque, como a água pingando de uma torneira, eles produzem dígitos únicos de π que não são reutilizados após serem calculados. Isso contrasta com a série infinita ou algoritmos iterativos, que retêm e usam todos os dígitos intermediários até o resultado final é produzido.

Matemáticos Stan Wagon e Stanley Rabinowitz produziram um algoritmo spigot simples em 1995. Sua velocidade é comparável aos algoritmos arctan, mas não tão rápida quanto algoritmos iterativos .

Outro algoritmo spigot, a BBP algoritmo de extração de dígitos, foi descoberto em 1995 por Simon Plouffe:

$\ pi=\ sum_{k=0}^{\ }infty\ frac{1}{16^{k}}\ left(\ frac{4}{8k+1}-\ frac{2}{8k+4}-\ frac{1}{8k+5}-\ frac{1}{8k+6}\ right).$

Esta fórmula, ao contrário de outras anteriores, pode produzir qualquer dígito hexadecimal individual de π sem calcular todos os dígitos anteriores. Dígitos binários individuais podem ser extraídos de dígitos hexadecimais individuais e dígitos octal podem ser extraídos de um ou dois dígitos hexadecimais. Variações do algoritmo foram descobertas, mas ainda não foi encontrado nenhum algoritmo de extração de dígitos que produza rapidamente dígitos decimais. Uma aplicação importante dos algoritmos de extração de dígitos é validar novas declarações de cálculos π de registro: após um um novo registro é reivindicado, o resultado decimal é convertido em hexadecimal e, em seguida, um algoritmo de extração de dígitos é usado para calcular vários dígitos hexadecimais aleatórios perto do final; se forem iguais, isso fornece uma medida de confiança de que todo o cálculo está correto.

Entre 1998 e 2000, o projeto computação distribuída PiHex usou a fórmula de Bellard (uma modificação do algoritmo BBP) para calcular o quatrilionésimo (10 ¹⁵ th) bit de π, que acabou sendo 0. Em setembro de 2010, um funcionário do Yahoo! usou o aplicativo Hadoop da empresa em mil computadores por um período de 23 dias para calcular 256 bit s de π no quatrilionésimo (2 × 10 ¹⁵⁾ th) bit, que também é zero.

Papel e caracterizações em matemática

Como π está intimamente relacionado ao círculo, ele é encontrado em muitas fórmulas nos campos de geometria e trigonometria, particularmente aqueles relacionados a círculos, esferas ou elipses. Outros ramos da ciência, como estatística, física, análise de Fourier e teoria dos números, também incluem π em algumas de suas fórmulas importantes.

Geometria e trigonometria

A área do círculo é igual a π vezes a área sombreada

π aparece em fórmulas para áreas e volumes de formas geométricas baseadas em círculos, como elipse s, esfera s, cones e tori. Abaixo estão algumas das fórmulas mais comuns que envolvem π.

• A circunferência de um círculo com raio r é 2πr .
• A área de um círculo com raio r é πr ² .
• O volume de uma esfera com raio r é 4 3 πr ³ .
• A área da superfície de uma esfera com raio r é 4πr ² .

As fórmulas acima são casos especiais do volume da n - esfera dimensional e da área de superfície de seu limite, a ( n - 1 ) -esfera dimensional, dada abaixo.

Integrais definidos que descrevem a circunferência, área ou volume das formas geradas por círculos normalmente têm valores que envolvem π. Por exemplo, uma integral que especifica metade da área de um círculo de raio um é dada por:

$\ int_{-1}^{1}\ sqrt{1-x^{2}}\,dx=\ frac{\ pi}{2}.$

Nessa integral, a função √ 1 & nbsp; - & nbsp; x ² representa a metade superior de um círculo (a raiz quadrada é uma consequência do teorema de Pitágoras) e da integral ∫1
−1 calcula a área entre aquela metade de um círculo e o x eixo. Seno e cosseno funções repetidas com período 2 π. As funções trigonométricas dependem de ângulos, e os matemáticos geralmente usam radianos como unidades de medida. π desempenha um papel importante nos ângulos medidos em radianos s, que são definidos de forma que um círculo completo se estenda por um ângulo de 2 π radianos. A medida do ângulo de 180 ° é igual a π radianos e 1 ° = π / 180 radianos.

Funções trigonométricas comuns têm períodos que são múltiplos de π; por exemplo, seno e cosseno têm período 2 π, então para qualquer ângulo θ e qualquer número inteiro k ,

$\ sin\ theta=\ sin\ left(\ theta+2\ pik\ right)\ text{e}\ cos\ theta=\ cos\ left(\ theta+2\ pik\ right).$

Valores próprios

Os sobretons s de uma corda vibrante são autofunções s da segunda derivada e formam uma harmônico progressão. Os valores próprios associados formam a progressão aritmética de múltiplos inteiros de π. Muitas das aparições de π nas fórmulas da matemática e das ciências têm a ver com sua estreita relação com a geometria. No entanto, π também aparece em muitas situações naturais sem aparentemente nada a ver com geometria.

Em muitas aplicações, ele desempenha um papel distinto como um autovalor. Por exemplo, uma corda vibrando idealizada pode ser modelada como o gráfico de uma função f no intervalo de unidade [0,1], com extremidades fixas

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. Os modos de vibração da corda são soluções da equação diferencial $f''(x)+\ lambdaf(x)=0$, ou $f''(t)=-\ lambdaf(x)$. Assim, λ é um autovalor da segunda derivada operador $f\ mapstof''$, e é restringido pela teoria de Sturm-Liouville a assumir apenas alguns valores específicos. Deve ser positivo, visto que o operador é definido negativo, então é conveniente escrever λ = ν ² , onde ν> 0 é chamado de número de onda. Então f ( x ) = sin (π x ) satisfaz as condições de contorno e a equação diferencial com ν = π }.

O valor π é, de fato, o menor tal valor do número de onda, e está associado ao modo fundamental de vibração da corda. Uma maneira de mostrar isso é estimando a energia, que satisfaz a Desigualdade de Wirtinger: para uma função f : [0, 1] → ℂ com f (0) = f (1) = 0 e f , f ' ambos quadrado integrável, temos:

$\ pi^{2}\ int_{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\ le\ int_{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,$

com igualdade precisamente quando f é um múltiplo de sin (π x ). Aqui π aparece como uma constante ótima na desigualdade de Wirtinger, e segue-se que é o menor número de onda, usando o caracterização variacional do valor próprio. Como consequência, π é o menor valor singular do operador derivado no espaço de funções em [0,1] desaparecendo em ambos os pontos finais (o [[espaço de Sobolev] ] $H_{0}^{1}[0,1]$).

Desigualdades

1894}}: aquelas terras beirando o mar que a Rainha Dido poderia envolver em todos os outros lados dentro de um único couro de boi, cortado em tiras.

1894}}: aquelas terras beirando o mar que a Rainha Dido poderia envolver em todos os outros lados dentro de um único couro de boi, cortado em tiras.

O número que π serve aparece em problemas de autovalor semelhantes na análise dimensional superior. Como mencionado acima, ele pode ser caracterizado por meio de seu papel como a melhor constante na desigualdade isoperimétrica: a área A delimitada por um plano curva de Jordan de perímetro P satisfaz a desigualdade

$4\ piA\ leP^{2},$

e a igualdade é claramente alcançada para o círculo, já que nesse caso A = πr ² e P = 2πr .

Em última análise, como consequência da desigualdade isoperimétrica, π aparece na constante ótima para a desigualdade de Sobolev crítica em n dimensões, que assim caracteriza o papel de π em muitos fenômenos também, por exemplo aqueles da teoria do potencial clássica. Em duas dimensões, a desigualdade crítica de Sobolev é

$2\ pi\ |f\ |_{2}\ le\ |\ nablaf\ |_{1}$

para f uma função suave com suporte compacto em 'R' ² , $\ nablaf$ é o gradiente de f , e $\ |f\ |_{2}$ e $\ |\ nablaf\ |_{1}$ referem-se respectivamente ao L ² e L ¹ - norma. A desigualdade de Sobolev é equivalente à desigualdade isoperimétrica (em qualquer dimensão), com as mesmas melhores constantes.

A desigualdade de Wirtinger também se generaliza para Desigualdades de Poincaré de dimensão superior que fornecem as melhores constantes para a energia de Dirichlet de uma membrana n dimensional. Especificamente, π é a maior constante de tal forma que

$\ pi\ le\ frac{\ left(\ int_{G}|\ nablau|^{2}\ right)^{1/2}}{\ left(\ int_{G}|u|^{2}\ right)^{1/2}}$

para todos os convexo subconjuntos G de 'R' ⁿ de diâmetro 1, e funções quadradas integráveis ​​ u em G de média zero. Assim como a desigualdade de Wirtinger é a forma variacional do problema autovalor de Dirichlet em uma dimensão, o A desigualdade de Poincaré é a forma variacional do problema de autovalores Neumann, em qualquer dimensão.

Transformada de Fourier e princípio de incerteza de Heisenberg

Uma animação de um geodésico no grupo de Heisenberg, mostrando a estreita conexão entre o grupo de Heisenberg, isoperimetria, e a constante π. A altura cumulativa da geodésica é igual à área da parte sombreada do círculo unitário, enquanto o comprimento do arco (na métrica Carnot-Carathéodory métrica) é igual à circunferência.

A constante π também aparece como um parâmetro espectral crítico na transformada de Fourier. Esta é a transformada integral, que leva uma função integrável de valor complexo f na linha real para a função definida como:

$\ hat{f}(\ xi)=\ int_{-\ infty}^{\ }inftyf(x)e^{-2\ piix\ xi}\,dx.$

Embora existam várias convenções diferentes para a transformada de Fourier e sua inversa, qualquer convenção deve envolver π em algum lugar . A definição acima é a mais canônica, entretanto, dando o único operador unitário em L ² que também é um homomorfismo de álgebra de L ¹ para L ^∞.

O princípio da incerteza de Heisenberg também contém o número π. O princípio da incerteza dá um limite inferior nítido na extensão em que é possível localizar uma função no espaço e na frequência: com nossas convenções para a transformada de Fourier,

$\ left(\ int_{-\ infty}^{\ }inftyx^{2}|f(x)|^{2}\,dx\ right)\ left(\ int_{-\ infty}^{\ }infty\ xi^{2}|\ hat{f}(\ xi)|^{2}\,d\ xi\ right)\ ge\ left(\ frac{1}{4\ pi}\ int_{-\ infty}^{\ }infty|f(x)|^{2}\,dx\ right)^{2}.$

A consequência física, sobre a incerteza na posição simultânea e observações de momento de um sistema mecânica quântica, é discutido abaixo. O aparecimento de π nas fórmulas da análise de Fourier é, em última análise, uma consequência do teorema de Stone-von Neumann, afirmando a singularidade da representação de Schrödinger do grupo de Heisenberg.

Integrais de Gauss

Um gráfico da função Gaussiana Parte da série sobre Matemática * História Áreas * Teoria dos números * Geometria * Álgebra * Cálculo e Análise * Matemática discreta * Lógica matemática e Teoria dos conjuntos * Probabilidade * Estatística e Teoria da decisão Relação com as ciências * Física * Química * Computação * Biologia * Linguística * Economia * Filosofia * Educação Portal da Matemática v d e . A região colorida entre a função e o eixo x tem área √ π.

Os campos de probabilidade e estatísticas freqüentemente usam a distribuição normal como um modelo simples para fenômenos complexos; por exemplo, os cientistas geralmente assumem que o erro observacional na maioria dos experimentos segue uma distribuição normal. A função Gaussiana, que é a função densidade de probabilidade da distribuição normal com média

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, contém naturalmente π:

$f(x)={1\ over\ sigma\ sqrt{2\ pi}}\,e^{-(x-\ mu)^{2}/(2\ sigma^{2})}.</math>Ofatorde<math>\ tfrac{1}{\ sqrt{2\ pi}}$ torna a área sob o gráfico de f igual a um, como é necessário para uma distribuição de probabilidade. Isso segue de uma mudança de variáveis na integral de Gauss:

$\ int_{-\ infty}^{\ }inftye^{-u^{2}}\,du=\ sqrt{\ pi}$

que diz que a área sob a curva do sino básica na figura é igual à raiz quadrada de π.

[[Imagem:Simulação de passeio aleatório.png | polegar | direito | π podem ser calculadas a partir da distribuição de zeros de um processo de Wiener] ] O teorema do limite central explica o papel central das distribuições normais e, portanto, de π, na probabilidade e na estatística. Este teorema está, em última análise, conectado com o caracterização espectral de π como o autovalor associado ao princípio da incerteza de Heisenberg, e o fato de que a igualdade vale no princípio da incerteza apenas para o Função gaussiana. Equivalentemente, π é a única constante que faz a distribuição normal Gaussiana e ^{-πx 2}} } igual à sua própria transformação de Fourier. De fato, de acordo com Howe ( 1980), todo o "negócio" de estabelecer os teoremas fundamentais da análise de Fourier se reduz à integral de Gauss.

Geometria projetiva

Seja V o conjunto de todas as funções reais duas vezes diferenciáveis ​​$f:\ mathbbR\ to\ mathbbR$ que satisfazem a equação diferencial ordinária $f''(x)+f(x)=0$. Então V é um real bidimensional espaço vetorial, com dois parâmetros correspondendo a um par de condições iniciais para a equação diferencial. Para qualquer $t\ in\ mathbbR$, deixe $e_{t}:V\ to\ mathbbR$ ser o funcional de avaliação, que se associa a cada $f\ inV</math>ovalor<math>e_{t}(f)=f(t)$ da função f no ponto real t . Então, para cada t , o kernel de $e_{t}$ é um subespaço linear unidimensional de V . Conseqüentemente, $t\ mapsto\ kere_{t}$ define uma função de $\ mathbbR\ a\ mathbbP(V)$ da linha real para a linha projetiva real. Esta função é periódica, e a quantidade π pode ser caracterizada como o período deste mapa.

Topologia

[[Imagem:Order-7 triangular tiling.svg | thumb | right | Uniformização do Klein quártico, uma superfície de gênero três e característica de Euler −4, como um quociente do plano hiperbólico pelo grupo de simetria PSL (2,7) do plano de Fano. A área hiperbólica de um domínio fundamental é 8π, de Gauss – Bonnet.]] A constante π aparece na fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona a geometria diferencial das superfícies com sua topologia. Especificamente, se uma compacto superfície Σ tem curvatura de Gauss K , então

$\ int_{\ }SigmaK\,dA=2\ pi\ chi(\ Sigma)$

onde χ ( Σ ) é a característica de Euler, que é um número inteiro. Um exemplo é a área de superfície de uma esfera S de curvatura 1 (de modo que seu raio de curvatura, que coincide com seu raio, também é 1.) A característica de Euler de uma esfera pode ser calculado a partir de seus grupo de homologia e é considerado igual a dois. Assim nós temos

$A(S)=\ int_{S}1\,dA=2\ pi\ cdot2=4\ pi$

reproduzindo a fórmula para a área de superfície de uma esfera de raio 1.

A constante aparece em muitas outras fórmulas integrais em topologia, em particular, aquelas envolvendo classe característica es via homomorfismo de Chern – Weil.

Cálculo vetorial

As técnicas de cálculo vetorial podem ser entendidas em termos de decomposições em harmônico esférico s (mostrado)

Cálculo vetorial é um ramo do cálculo que se preocupa com as propriedades de campo vetorial se tem muitas aplicações físicas, como eletricidade e magnetismo. O potencial newtoniano para uma fonte pontual Q situada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional é

$V(\ mathbf{x})=-\ frac{kQ}{|\ mathbf{x}|}$

que representa a energia potencial de uma unidade de massa (ou carga) colocada a uma distância | 'x' | da fonte, e k } é uma constante dimensional. O campo, denotado aqui por 'E' , que pode ser o (Newtoniano) campo gravitacional ou o (Coulomb) campo elétrico, é o negativo gradiente do potencial:

$\ mathbf{E}=-\ nablaV.$

Casos especiais incluem lei de Coulomb e lei da gravitação universal de Newton. Lei de Gauss afirma que o fluxo externo do campo por meio de qualquer superfície lisa, simples, fechada e orientável S contendo a origem é igual a 4 π kQ :

$4\ pikQ=$ ${\ scriptstyleS}$

É padrão absorver este fator de 4π na constante k, mas este argumento mostra por que ele deve aparecer em algum lugar . Além disso, 4π é a área de superfície da esfera unitária, mas não assumimos que S é a esfera. No entanto, como consequência do teorema da divergência, porque a região afastada da origem é o vácuo (livre de fonte), é apenas a classe de homologia da superfície S em { {math } que importa no cálculo da integral, por isso pode ser substituído por qualquer superfície conveniente na mesma classe de homologia, em particular, um esfera, onde as coordenadas esféricas podem ser usadas para calcular a integral.

Uma consequência da lei de Gauss é que o negativo Laplaciano do potencial V é igual a 4πkQ vezes a função delta de Dirac:

$\ DeltaV(\ mathbfx)=-4\ pikQ\ delta(\ mathbfx).$

Distribuições mais gerais de matéria (ou carga) são obtidas a partir disso por convolução, dando a equação de Poisson

$\ DeltaV(\ mathbfx)=-4\ pik\ rho(\ mathbfx)$

onde ρ é a função de distribuição.

A equação de Einstein afirma que a curvatura do espaço-tempo é produzida pelo conteúdo de matéria-energia

A equação de Einstein afirma que a curvatura do espaço-tempo é produzida pelo conteúdo de matéria-energia

A constante π também desempenha um papel análogo nos potenciais quadridimensionais associados às equações de Einstein, uma fórmula fundamental que forma a base da teoria geral da relatividade e descreve a interação fundamental de gravitação como resultado de espaço-tempo ser curvado por matéria e energia:

$R_{\ mu\ nu}-\ frac{1}{2}Rg_{\ mu\ nu}+\ Lambdag_{\ mu\ nu}=\ frac{8\ piG}{c^{4}}T_{\ mu\ nu},$

onde R _μν é o tensor de curvatura de Ricci, R é a curvatura escalar, g _μν é o tensor métrico, Λ é o constante cosmológica, G é constante gravitacional de Newton, c é a velocidade da luz no vácuo, e T _μν é o tensor tensão-energia. O lado esquerdo da equação de Einstein é um análogo não linear do Laplacianodo tensor métrico, e se reduz àquele no limite do campo fraco, com o termo $\ Lambdag$ desempenhando o papel de um multiplicador de Lagrange, e o lado direito é o análogo de a função de distribuição, vezes 8π.

Fórmula integral de Cauchy

Funções analíticas complexas podem ser visualizadas como uma coleção de linhas de fluxo e equipotenciais, sistemas de curvas que se cruzam em ângulos retos. Aqui está ilustrado o logaritmo complexo da função Gamma

Uma das principais ferramentas em análise complexa é a integração do contorno de uma função orientada positivamente ( retificável) curva de Jordan

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. Uma forma de fórmula integral de Cauchy afirma que se um ponto z ₀ é interior de γ, então

$\ oint_{\ }gamma\ frac{dz}{z-z_{0}}=2\ pii.$

Embora a curva γ não seja um círculo e, portanto, não tenha nenhuma conexão óbvia com a constante π, uma prova padrão desse resultado usa teorema de Morera, o que implica que integral é invariante sob homotopia da curva, de modo que pode ser deformado em um círculo e então integrado explicitamente em coordenadas polares. De forma mais geral, é verdade que se uma curva fechada retificável γ não contém z ₀ , então a integral acima é 2πi vezes o número do enrolamento da curva.

A forma geral da fórmula integral de Cauchy estabelece a relação entre os valores de uma função analítica complexa f ( z ) na curva de Jordan γ } e o valor de f ( z ) em qualquer ponto interior z ₀ de γ:

$\ oint_{\ }gamma{f(z)\ overz-z_{0}}\,dz=2\ piif(z_{0})$

desde que f ( z ) seja analítico na região delimitada por γ e se estenda continuamente até γ. A fórmula integral de Cauchy é um caso especial do teorema do resíduo, que se

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é uma função meromórfica a região delimitada por

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e é contínua em uma vizinhança de γ, então

$\ oint_{\ }gammag(z)\,dz=2\ pii\ sum\ operatorname{Res}(g,a_{k})$

onde a soma é dos resíduos no pólos de

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.

A função gama e a aproximação de Stirling

é uma consequência

.]

A função fatorial n ! É o produto de todos os inteiros positivos até n . A função gama estende o conceito de fatorial (normalmente definido apenas para inteiros não negativos) para todos os números complexos, exceto os inteiros reais negativos. Quando a função gama é avaliada em meio-inteiros, o resultado contém π; por exemplo $\ Gamma(1/2)=\ sqrt{\ pi}$ e ${\textstyle \ Gamma(5/2)=\ frac{3\ sqrt{\ pi}}{4}}$.

A função gama é definida por seu desenvolvimento produto Weierstrass:

$\ Gamma(z)=\ frac{e^{-\ gammaz}}{z}\ prod_{n=1}^{\ }infty\ frac{e^{z/n}}{1+z/n}$

onde γ é a constante de Euler – Mascheroni. Avaliado em z = 1/2 e ao quadrado, a equação Γ (1/2) ² = π se reduz à fórmula do produto Wallis. A função gama também está conectada à função zeta de Riemann e identidades para o determinante funcional, em que a constante π [[# teoria dos números e função zeta de Riemann | desempenha um papel importante] ]

A função gama é usada para calcular o volume V _n ( r ) do n -bola dimensional de raio r no espaço euclidiano n - espaço dimensional, e a área de superfície S _{n - 1 </ sub> ( r )} de seu limite, a ( n - 1) -sfera dimensional:

$V_{n}(r)=\ frac{\ pi^{n/2}}{\ Gamma\ left(\ frac{n}{2}+1\ right)}r^{n},$

$S_{n-1}(r)=\ frac{n\ pi^{n/2}}{\ Gamma\ left(\ frac{n}{2}+1\ right)}r^{n-1}.$

Further, segue-se da equação funcional que

$2\ pir=\ frac{S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}.$

A função gama pode ser usada para criar uma aproximação simples para a função fatorial n ! Para grandes n }: ${\textstyle n!\ sim\ sqrt{2\ pin}\ left(\ frac{n}{e}\ right)^{n}}$ que é conhecido como aproximação de Stirling. Equivalentemente,

$\ pi=\ lim_{n\ to\ infty}\ frac{e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}.$

Como uma aplicação geométrica da aproximação de Stirling, deixe Δ _n denotar o simplex padrão em n - espaço euclidiano dimensional, e ( n & nbsp; + & nbsp; 1) Δ _n denota o simplex com todos os seus lados escalados por um fator de n & nbsp; + & nbsp; 1. Então

$\ operatorname{Vol}((n+1)\ Delta_{n})=\ frac{(n+1)^{n}}{n!}\ sim\ frac{e^{n+1}}{\ sqrt{2\ pin}}.$

Conjectura de volume de Ehrhart é que este é o limite superior (ótimo) no volume de um corpo convexo contendo apenas um ponto de rede.

Teoria dos números e função zeta de Riemann

Cada primo tem um grupo Prüfer associado, que são localizações aritméticas do círculo. As funções L da teoria analítica dos números também estão localizadas em cada p primo.

Solução do problema de Basel usando a conjectura de Weil: o valor de ζ (2) } é a área hiperbólica de um domínio fundamental do grupo modular, vezes 2 π.

A função zeta de Riemann ζ ( s ) é usada em muitas áreas da matemática. Quando avaliado em s = 2, pode ser escrito como

$\ zeta(2)=\ frac{1}{1^{2}}+\ frac{1}{2^{2}}+\ frac{1}{3^{2}}+\ cdots$

Encontrar uma solução simples para esta série infinita foi um problema famoso em matemática chamado de problema de Basel. Leonhard Euler resolveu em 1735 quando mostrou que era igual a π ² /6.o resultado de Euler leva ao [ [teoria dos números]] resulta que a probabilidade de dois números aleatórios serem relativamente primos (ou seja, não tendo fatores compartilhados) é igual a 6 / π ² .

Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle \ begin {align} \ prod_p ^ \ infty \ left (1- \ frac {1} {p ^ 2} \ right) & = \ left (\ prod_p ^ \ infty \ frac {1} {1-p ^ {- 2}} \ right ) ^ {- 1} \\ [4pt] & = \ frac {1} {1 + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ cdots} \\ [4pt] & = \ frac {1} {\ zeta (2)} = \ frac {6} {\ pi ^ 2} \ approx 61 \%. \ end {align} }

Esta probabilidade pode ser usada em conjunto com um gerador de números aleatórios para aproximar π usando uma abordagem de Monte Carlo.

A função zeta também satisfaz a equação funcional de Riemann, que envolve π, bem como a função gama:

$\ zeta(s)=2^{s}\ pi^{s-1}\ \ sin\ left(\ frac{\ pis}{2}\ right)\ \ Gamma(1-s)\ \ zeta(1-s).$

Além disso, a derivada da função zeta satisfaz

$\ exp(-\ zeta'(0))=\ sqrt{2\ pi}.$

Uma consequência é que π pode ser obtido a partir do determinante funcional do oscilador harmônico. Este determinante funcional pode ser calculado por meio de uma expansão de produto e é equivalente à fórmula de produto de Wallis. O cálculo pode ser reformulação na mecânica quântica, especificamente no abordagem variacional para o espectro do átomo de hidrogênio.

Série de Fourier

π aparece em caracteres de números p-ádicos (mostrado), que são elementos de um grupo Prüfer . Tese de Tate faz uso intensivo deste mecanismo.[161]

π aparece em caracteres de números p-ádicos (mostrado), que são elementos de um grupo Prüfer . Tese de Tate faz uso intensivo deste mecanismo.

A constante π também aparece naturalmente em série de Fourier de função periódica s. Funções periódicas são funções no grupo 'T' = 'R' / 'Z' de partes fracionárias de números reais. A decomposição de Fourier mostra que uma função de valor complexo f em 'T' pode ser escrita como uma superposição linear infinita de caráter unitário s de 'T' . Ou seja, homomorfismo de grupo contínuo de 'T' ao grupo de círculo U (1) de módulo unitário números complexos. É um teorema que todo caractere de 'T' é uma das exponenciais complexas $e_{n}(x)=e^{2\ piinx}$.

Há um caractere único em 'T' , até a conjugação complexa, que é um isomorfismo de grupo. Usando a medida Haar no grupo do círculo, a constante π é a metade da magnitude da derivada Radon-Nikodym desse caractere. Os outros caracteres têm derivados cujas magnitudes são múltiplos inteiros positivos de 2 π. Como resultado, a constante π é o número único tal que o grupo 'T' , equipado com sua medida Haar, é Pontrjagin dual para a rede de múltiplos inteiros de 2 π. Esta é uma versão da fórmula de soma de Poisson unidimensional.

Formas modulares e funções theta

Ficheiro:Lattice with tau.svg

Funções Theta se transformam sob a rede de períodos de uma curva elíptica.

A constante π está conectada de maneira profunda com a teoria das forma modular se função teta s. Por exemplo, o algoritmo de Chudnovsky envolve de uma forma essencial a j-invariante de uma curva elíptica.

Forma modular s são função holomórfica s no meio plano superior caracterizados por suas propriedades de transformação sob o grupo modular $\ mathrm{SL}_{2}(\ mathbbZ)$ (ou seus vários subgrupos), uma rede no grupo $\ mathrm{SL}_{2}(\ mathbbR)$. Um exemplo é a função Jacobi theta

$\ theta(z,\ tau)=\ sum_{n=-\ infty}^{\ }inftye^{2\ piinz+i\ pin^{2}\ tau}$

que é um tipo de forma modular chamada forma de Jacobi. Isso às vezes é escrito em termos de nome $q=e^{\ pii\ tau}$.

A constante π é a única constante que torna a função teta de Jacobi uma forma automórfica, o que significa que ela se transforma de uma maneira específica. Certas identidades são válidas para todas as formas automórficas. Um exemplo é

$\ theta(z+\ tau,\ tau)=e^{-\ pii\ tau-2\ piiz}\ theta(z,\ tau),$

o que implica que θ se transforma como uma representação sob o grupo de Heisenberg discreto. Formas modulares gerais e outras função theta s também envolvem π, mais uma vez por causa do Stoteorema de ne – von Neumann.

Distribuição de Cauchy e teoria potencial

A Bruxa de Agnesi, em homenagem a Maria Agnesi (1718–1799), é uma construção geométrica do gráfico da distribuição de Cauchy. A distribuição Cauchy

$g(x)=\ frac{1}{\ pi}\ cdot\ frac{1}{x^{2}+1}$

é uma função de densidade de probabilidade. A probabilidade total é igual a um, devido à integral:

$\ int_{-\ infty}^{\ infty}\ frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\ pi.$

A entropia de Shannon da distribuição de Cauchy é igual a ln (4π), que também envolve π.

A distribuição de Cauchy governa a passagem de partículas brownianas através de uma membrana.

A distribuição de Cauchy governa a passagem de partículas brownianas através de uma membrana.

A distribuição de Cauchy desempenha um papel importante na teoria do potencial porque é a medida de Furstenberg mais simples, a kernel de Poisson clássica associada a um movimento browniano ao meio- plano. Conjugado harmônico função se também a transformada de Hilbert estão associadas à assintótica do kernel de Poisson. A transformada de Hilbert H é a transformada integral dada pelo valor principal de Cauchy do integral singular

$Hf(t)=\ frac{1}{\ pi}\ int_{-\ infty}^{\ }infty\ frac{f(x)\,dx}{x-t}.$

A constante π é o fator de normalização único (positivo) tal que H define uma estrutura complexa linear no espaço de Hilbert de funções quadradas integráveis ​​de valor real na linha real. A transformada de Hilbert, como a transformada de Fourier, pode ser caracterizada puramente em termos de suas propriedades de transformação no espaço de Hilbert L ² ( 'R' ): até um fator de normalização, é o único operador linear limitado que comuta com dilatações positivas e anti-comuta com todas as reflexões da linha real. A constante π é o único fator de normalização que torna esta transformação unitária.

Dinâmica complexa

Uma ocorrência de π no conjunto de Mandelbrot fractal foi descoberta por David Boll em 1991. Ele examinou o comportamento do conjunto Mandelbrot próximo ao "pescoço" em (−0,75, 0). Se pontos com coordenadas (−0,75, ε ) são considerados, como ε tende a zero, o número de iterações até a divergência para o ponto multiplicado por ε converge para π. O ponto (0.25 + ε , 0) na cúspide do grande "vale" no lado direito do conjunto de Mandelbrot se comporta de forma semelhante: o número de iterações até a divergência multiplicado pela raiz quadrada de ε tende a π.

Fora da matemática

Descrevendo fenômenos físicos

Embora não seja uma constante física, π aparece rotineiramente em equações que descrevem os princípios fundamentais do universo, muitas vezes por causa da relação de π com o círculo e com sistema de coordenadas esféricas s . Uma fórmula simples do campo de mecânica clássica dá o período aproximado T de um pêndulo simples de comprimento L , balançando com uma pequena amplitude ( g é a aceleração gravitacional da Terra):

$T\ approx2\ pi\ sqrt\ frac{L}{g}.$

Uma das principais fórmulas da mecânica quântica é a Heisenberg'sprincípio da incerteza, que mostra que a incerteza na medição da posição de uma partícula (Δ x ) e momentum (Δ p ) não podem ser arbitrariamente pequenos ao mesmo tempo (onde h é constante de Planck):

$\ Deltax\,\ Deltap\ ge\ frac{h}{4\ pi}.$

O fato de que π é aproximadamente igual a 3 desempenha um papel na vida relativamente longa de ortopositrônio. O tempo de vida inverso para a ordem mais baixa na constante de estrutura fina α é

$\ frac{1}{\ tau}=2\ frac{\ pi^{2}-9}{9\ pi}m\ alpha^{6},$

onde m é a massa do elétron.

π está presente em algumas fórmulas de engenharia estrutural, como a fórmula flambagem derivada de Euler, que dá a carga axial máxima F que uma coluna longa e delgada de comprimento L , módulo de elasticidade E , e momento de inércia da área I pode carregar sem empenar:

$F=\ frac{\ pi^{2}EI}{L^{2}}.$

O campo de dinâmica dos fluidos contém π na lei de Stokes, que se aproxima da força de fricção F exercida em pequenas , objetos esféricos de raio R , movendo-se com velocidade v em um fluido com [[viscosidade dinâmica] ] η :

$F=6\ pi\ etaRv.$

Em eletromagnética, a permeabilidade do vácuo constante μ ₀ aparece nas equações de Maxwell, que descrevem as propriedades de elétrico e magnético campos e radiação eletromagnética. Antes de 20 de maio de 2019, era definido exatamente como

$\ mu_{0}=4\ pi\ times10^{-7}\ text{H/m}\ aproximadamente1,2566370614\ ldots\ times10^{-6}\ text{N/A}^{2}.$

Uma relação para a velocidade da luz no vácuo,

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pode ser derivada das equações de Maxwell no meio de vácuo clássico usando uma relação entre μ ₀ e a constante elétrica (permissividade de vácuo), ε ₀ no SI unidades:

$c={1\ over\ sqrt{\ mu_{0}\ varepsilon_{0}}}.$

Sob condições ideais (declive suave uniforme em um substrato homogeneamente erodível), a sinuosidade de um meandro rio se aproxima de π. A sinuosidade é a razão entre o comprimento real e a distância em linha reta da fonte à boca. Correntes mais rápidas ao longo das bordas externas das curvas de um rio causam mais erosão do que ao longo das bordas internas, empurrando as curvas ainda mais para fora e aumentando a curvatura geral do rio. No entanto, essa curvatura eventualmente faz com que o rio dobre sobre si mesmo em alguns lugares e entre em "curto-circuito", criando um lago em arco no processo. O equilíbrio entre esses dois fatores opostos leva a uma proporção média de π entre o comprimento real e a distância direta entre a fonte e a boca.

Memorizando dígitos

Ver artigo principal: Pipilologia

Pipilologia é a prática de memorizar grandes números de dígitos de π, e os recordes mundiais são mantidos pelo Guinness World Records . O recorde de memorização de dígitos de π, certificado pelo Guinness World Records, é de 70.000 dígitos, recitado na Índia por Rajveer Meena em 9 horas e 27 minutos em 21 de março de 2015. Em 2006, Akira Haraguchi, um engenheiro japonês aposentado, afirmou ter recitado 100.000 casas decimais, mas a afirmação não foi verificada pelo Guinness World Records.

Uma técnica comum é memorizar uma história ou poema em que os comprimentos das palavras representam os dígitos de π: a primeira palavra tem três letras, a segunda palavra tem uma, a terceira tem quatro, a quarta tem uma, a quinta tem cinco e assim por diante. Esses auxílios de memorização são chamados de mnemônicos. Um dos primeiros exemplos de mnemônico para pi, originalmente criado pelo cientista inglês James Jeans, é "Como eu quero uma bebida, alcoólica, é claro, após as pesadas aulas envolvendo mecânica quântica." Quando um poema é usado, às vezes é chamado de piem . Poemas para memorizar π foram compostos em vários idiomas, além do inglês. Os memorizadores de configuração de π de registro normalmente não dependem de poemas, mas em vez disso, usam métodos como lembrando padrões numéricos e o método dos loci.

Alguns autores usaram os dígitos de π para estabelecer uma nova forma de escrita restrita, onde os comprimentos das palavras são necessários para representar os dígitos de π. O Cadenza Cadaeic contém os primeiros 3835 dígitos de π desta maneira, e o livro completo Not a Wake contém 10.000 palavras, cada uma representando um dígito de π.

Na cultura popular

Fundo

Talvez por causa da simplicidade de sua definição e sua presença onipresente nas fórmulas, π foi representado na cultura popular mais do que outras construções matemáticas.

Em 2008 Open University e BBC coprodução de documentário, The Story of Maths , exibido em outubro de 2008 na BBC Four, matemático britânico Marcus du Sautoy mostra um visualização do - historicamente primeiro exato - fórmula para calcular π ao visitar a Índia e explorar suas contribuições para trigonometria.

No Palais de la Découverte (um museu de ciências em Paris) existe uma sala circular conhecida como sala do pi . Em sua parede estão inscritos 707 dígitos de π. Os dígitos são grandes caracteres de madeira presos ao teto em forma de cúpula. Os dígitos foram baseados em um cálculo de 1853 pelo matemático inglês William Shanks, que incluiu um erro começando no 528º dígito. O erro foi detectado em 1946 e corrigido em 1949. Os dígitos de π também foram incorporados à letra da canção "Pi "do álbum Aerial por Kate Bush.

Nos Estados Unidos, o Dia do Pi cai em 14 de março (escrito em 14/3 no estilo dos EUA) e é popular entre os alunos. π e sua representação digital são frequentemente usados ​​por "math geek s" autodescritos para piada interna s entre grupos de mentalidade matemática e tecnológica. Várias faculdades vivas no Instituto de Tecnologia de Massachusetts incluem "3.14159". O Dia do Pi em 2015 foi particularmente significativo porque a data e a hora em 14/03/15 9:26:53 refletiam muitos outros dígitos de pi.

Durante o leilão de 2011 para o portfólio de patentes de tecnologia valiosas da Nortel, o Google fez uma série de lances incomumente específicos com base em constantes matemáticas e científicas, incluindo π.

<! - usado no redirecionamento Tau (número) -> Em 1958 Albert Eagle proposta substituindo π por τ (tau), onde τ = π / 2, para simplificar as fórmulas. No entanto, nenhum outro autor é conhecido por usar τ nesse caminho. Algumas pessoas usam um valor diferente, τ = 2π = 6,28318 ..., argumentando que τ, como o número de radianos em um turn, ou como a razão entre a circunferência de um círculo e seu raio em vez de seu diâmetro, é mais natural do que π e simplifica muitas fórmulas. Comemorações desse número, porque é aproximadamente igual a 6,28, tornando 28 de junho o "Dia do Tau" e comendo "o dobro da torta", foram relatados na mídia. No entanto, este uso de τ não fez seu caminho para a matemática convencional.

Em 1897, um matemático amador tentou persuadir a Legislatura de Indiana a aprovar o Projeto de lei do Indiana Pi, que descrevia um método para quadratura do círculo e continha texto que implicava vários valores incorretos para π, incluindo 3.2. O projeto é notório como uma tentativa de estabelecer um valor de constante científica por meio de decreto legislativo. O projeto foi aprovado pela Câmara dos Representantes de Indiana, mas rejeitado pelo Senado, o que significa que não se tornou uma lei.

Na cultura da informática

Na cultura da Internet contemporânea, indivíduos e organizações frequentemente prestam homenagem ao número π. Por exemplo, o cientista da computação Donald Knuth deixou os números da versão de seu programa TeX se aproximarem de π. As versões são 3, 3.1, 3.14 e assim por diante.<ref>Knuth, Donald (3 de outubro de 1990). [http: //www.ntg.nl/maps/05/34.pdf «The Future of TeX and Metafont»] (PDF). TeX Mag. 5 (1): 145. Consultado em 17 de fevereiro de 2017. [https: //web.archive.org/web/20160413230304/http: //www.ntg.nl/maps/05/34.pdf Cópia arquivada (PDF) em 13 de abril de 2016]  </ ref >

Ver também

• Aproximações de π
• Cronologia do cálculo de π
• Lista de constantes matemáticas
• Dia do Pi

Referências

Referências

Ligações externas

• 10 milhões de casas decimais
• "Pi"em Wolfram Mathworld
• Representations of Piem Wolfram Alpha
• Demonstração de Lambert (1761) da irracionalidade de π, online e analisado BibNum (PDF).
• Search Engine 2 bilhões de dígitos pesquisáveis ​​de π, e e √ 2

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